26. Алгебра логики.

Высказывания и операции с ними. Предикаты и операции с ними. Кванторы. Формулы алгебры высказываний и алгебры предикатов. Выполнимые и опровержимые формулы. Тавтологии.

Высказывание -это такое предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным. Обозначается: или . Ф. , заданная на мн-ве , наз. функцией истинности, а значение  - логическим значением или значением истинности высказывания  .

Операции: 1) Отрицанием высказывания называется новое высказывание, обозначаемое , которое истинно, если высказывание ложно, и ложно, если высказывание истинно. 2) Конъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое или , которое истинно лишь в единственном случае, когда истинны оба исходных высказывания. 3) Дизъюнкцией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое которое истинно в тех случаях, когда хотя бы одно из высказываний. 4) Импликацией двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое , которое ложно в единственном случае, когда высказывание истинно, а -ложно, во всех остальных случаях — истинно. 5) Эквивалентностью двух высказываний и называется новое высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда одновременно оба высказывания и либо истинны, либо ложны, а во всех остальных случаях — ложно.

Предикаты и операции с ними. Пусть – непустое множество. Тогда -местным предикатом, заданным на М, называется выражение, содержащее переменных и обращающееся в высказывание при замене этих переменных элементами множества . Рассмотрим примеры: Пусть М есть множество натуральных чисел  . Тогда выражения « – простое число», « – четное число», « – больше 10» являются одноместными предикатами. Выражения « больше », « делит нацело», « плюс равно 10» являются двухместными предикатами. число лежит между « и », « плюс равно », , примеры трехместных предикатов. Высказывание – нульместный предикат, то есть предикат, в котором нет переменных для замены. Предикат с заменяемыми переменными будет обычно обозначаться заглавной латинской буквой. После которой в скобках указаны эти переменные. Например: , , . На совокупности всех предикатов, заданных на множестве М, вводятся операции конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация и эквиваленция:

Предикат называется конъюнкцией предикатов и , заданных на множестве М, если для любых из М высказывание есть конъюнкция высказываний и . Аналогично можно вывести и др. опер.

Кванторы. В логике предикатов первого порядка вводятся и две новые операции. Называются они квантором общности и квантором существования. Пусть – предикат, заданный на множестве М, – переменная. Тогда выражение «для всякого выполняется » – предикат, полученный из  навешиванием квантора общности на переменную  , а выражение «существует такой, что выполняется » - предикат, полученный из  навешиванием квантора существования на переменную  . Обозначения кванторов: -множества, -общности.

Формулы алгебры высказываний. Атомарными формулами логики высказывании называются буквы с индексами и без них, а также символы истины 1 и лжи 0. Формулами логики высказываний называются: 1) атомарные формулы; 2) выражения вида где и – формулы логики высказываний. Зам: Может показаться что «понятие формулы логики» высказываний определяется само за себя, но это индуктивное определения. Т.е. вводятся сначала базовые объекты (атомарные формулы) и способы порождения новых объектов из уже полученных (применение операций). Подформулой атомарной формулы является она сама. Подформулами формулы являются формула и все ее подформулы. Подформулами формул являются они сами и все подформулы формул и . Например: имеет шесть подформул: . Интерпретацией называется функция такая, что , .

Формулы алгебры предикатов. Пусть эл. мн-ва – символы (или имена) функций, эл. - символы (или имена) предикатов, эл. мн-ва - переменные. Будем считать, что каждому символу функции и предиката поставлено в соответствие натуральное число или ноль – местность (т.е. число аргументов) этого символа. Допускаются нульместные символы функций, которые наз. константами, и нульместные символы предикатов (в роли атомарных формул лог.высказываний). Объединение F и R будем называть сигнатурой. Термом называется: 1) переменная и константа; 2) выражение вида  , где -термы, а -местный функциональный символ. Т.е. терм – выражение, полученное из переменных и констант с помощью символов функций. Терм служит аналогом арифметического выражения. Атомарной формулой называется выражение вида , где -термы, -символ -местного предиката. Пример: Формулой логики первого порядка называется: 1)атомарная формула; 2)выражения вида , , , где и -формулы логики предикатов, -переменная. Формула в двух последних выражениях называется областью действия квантора по переменной  . Кванторы имеют равный приоритет, но наивысший относительно всех. Вхождение переменной в формулу называется связанным, если переменная стоит непосредственно за квантором или входит в область действия квантора по этой переменной. В противном случае вхождение называется свободным. Например: . Первое и второе вхождение переменной свободны, третье и четвертое связаны. Все вхождения переменной связаны.

Выполнимые и опровержимые формулы. Тавтологии. Формула алгебры высказываний  называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием, т.е. существуют такие конкретные высказывания , которые, будучи подставленными в эту формулу вместо переменных соответственно, превращают ее в истинное высказывание.

Формула называется тавтологией, или тождественно истинной, если она превращается в истинное высказывание при всякой подстановке вместо переменных конкретных высказываний , обозначается , и ставится перед формулой, являющейся тавтологией.

Формула называется опровержимой, если существуют такие конкретные высказывания , которые превращают данную формулу в ложное высказывание . Другими словами, опровержимые формулы — это формулы, не являющиеся тавтологиями.