25. Полные системы булевых функций.

Понятие полной системы. Примеры полных систем. Классы Поста. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

Если любая б. ф., являющаяся суперпозицией функций некоторого мн-ва, принадлежит этому мн-ву, то такое множество называют замкнутым.

Суперпозиция (сложная функция) — это функция, полученная из некоторого множества функций путем подстановки одной функции в другую или отождествления переменных. Замыканием мн-ва функций называется такое подм-во всех б. ф., что любую из этих функций можно выразить через функции исходного мн-ва.

Мн-во б. ф. называется полной системой, если замыкание этого мн-ва совпадает с множеством всех функций.

Полная система функций называется безызбыточной, если она перестает быть полной при исключении из неё любого элемента.

Американский математик Эмиль Пост сформулировал необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций. Для этого он ввел в рассмотрение следующие замкнутые Классы булевых функций: 1) Функции, сохраняющие константу (говорят, что функция сохраняет ноль, если ) и (Говорят, что функция сохраняет один, если ); 2) Самодвойственные функции (Говорят, что функция самодвойственна, если . Т.е., ф. называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения); 3) Монотонные функции (Говорят, что функция монотонна, если ); 4) Линейные функции (Говорят, что функция линейна, если существуют такие , где , , что для любых имеет место равенство: ).

Количество линейных функций от переменных равно . Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее полиноме Жегалкина присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной.

Критерий(теорема) Поста.

Набор булевых функций является полным тогда и только тогда, когда он не содержится полностью ни в одном из классов , т.е. когда в нем имеется хотя бы одна функция, не сохраняющая ноль, хотя бы одна ф., не сохраняющая один, хотя бы одна несамодвойственная функция, хотя бы одна немонотонная функция и хотя бы одна нелинейная функция.

Док-во: Необходимость: Очевидна т.к. бы все функции из набора К входили в один из перечисленных классов, то и все суперпозиции, а значит, и замыкание набора входило бы в этот класс и набор К не мог быть полным. Достаточность: Рассмотрим функцию, не сохраняющую ноль. , . Рассмотрим функцию, не сохраняющую один  , . Возможны четыре варианта: 1) Мы получили функцию НЕ. Используем несамодвойственную функцию . По определению найдется такой вектор , что . Возьмем , где , при и при . Видно, что . Таким образом мы получили одну из констант. 2) Мы получили НЕ и  . 3) Мы получили НЕ и  . . 4) Мы получили 1 и 0.

Рассмотрим немонотонную функцию . Существуют такие , что , ,зафиксируем все  , тогда . В итоге имеем три функции: НЕ,0,1.

Используем нелинейную функцию . Среди нелинейных членов (ее представления в виде полинома Жегалкина), выберем тот, в котором минимальное количество элементов. Все аргументы, кроме двух, в этом члене, приравняем единице, оставшиеся два назовем и , а все элементы, не входящие в данный член, сделаем равными нулю. Тогда эта функция будет представима в виде: , где в квадратных скобках указаны члены, которые могут и не присутствовать (остальные слагаемые будут равны нулю, поскольку в них есть как минимум один аргумент не входящие в выбранный член, т. к. мы выбрали член, в котором минимальное число элементов). Рассмотрим несколько вариантов: 1) Присутствует член . Возьмем отрицание от и член уберется. 2) Присутствуют три члена, без : , эквивалентна функции ИЛИ. 3) Присутствуют два члена, без . Построив две таблицы истинности, для двух различных вариантов, видим, что в обоих случаях функция истинна только в одной точке, следовательно, СДНФ функции будет состоять только из одного члена, а если это так, то не составляет труда выразить И через НЕ и . Например, если ф. принимает истинное значение, когда аргументы c номерами ложны, а все остальные истины, тогда функцию И можно выразить как .

4) Присутствует один член. Выразим И через НЕ и аналогично пункту 3.

В итоге получаем функцию НЕ, а также либо функцию И, либо функцию ИЛИ. Поскольку функцию И можно выразить через ИЛИ и НЕ, а функцию ИЛИ через И и НЕ, то мы получили базис И, ИЛИ, НЕ. Любую булеву функцию, не равную тождественному нулю, можно представить в форме СДНФ, т. е. с помощью данного базиса. Если же функция равна тождественному нулю, то ее можно представить в виде  . Значит, полученные функции образуют полную систему, т. к. с их помощью можно выразить любую булеву функцию. Из этого следует, что - полная система функций, ч.т.д.

Примеры: В частности, согласно критерию Поста, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать штрих Шеффера или стрелку Пирса.