21. Гиперповерхности II порядка.
Классификация гиперповерхностей II порядка в двух и трёхмерных пространствах.
Классификация гиперповерхностей II порядка в двух и трёхмерных пространствах.
Гиперповерхностью
второго порядка называется поверхность,
которая задается следующим уравнением
,
где
- главная часть, содержащая старшие
члены 2 порядка.
Инвариантом гиперповерхности второго порядка называется значение, характеризующее гиперповерхность, и не меняющееся в результате преобразований параллельного переноса и поворота.
1).Преобразование параллельного переноса.
.
.
(то,
что выделено красным – константыы).
В результате преобразований неизменной остается только главная часть, т.е.коэффициенты при старших членах.
2).Преобразование поворота
,
где
- ортог.преобраз.
.
.
В результате одного преобразования не изменяется только свободный член уравнения.
3).Инвариантами
гиперповерхности второго порядка
является коэффициенты характеристического
многочлена
,
,
и их следы.
Матрица составляется из всех коэффициентов и свободного члена уравнения, следом матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали.
4).Центры гиперповерхности второго порядка (центр симметрии).
Теорема:
точка С – центр Ф <=>
.
Следствие:
Если квадрика центральная, т.е.она имеет
единственный центр, то уравнение может
быть приведено к следующему виду:
.
Квадрика называется нецентральной, если она либо не имеет центра, либо имеет бесконечное множество центров.
5).Упрощение уравнения гиперповерхности второго порядка и классификация квадрик.
1.-Пусть
квадрика центральная =>
,
тогда с помощью преобразования
параллельного переноса и поворота
(ортог.преобр.) квадрику можно привести
к следующему виду:
.
Классификация:
тогда
А).
- мнимый n-мерный
эллипсоид.
Б).
- действительный n-мерный
эллипсоид.
В).
– гиперболоид индекса
.
тогда
– центральный конус.
2.-
Пусть квадрика нецентральная =>
Канонический
вид:
.
Классификация:
А).
– центральная цилиндрическая квадрика (т.е.цилиндрическая квадрика, имеющая бесконечное множество центров).
Б).
– n-мерный параболоид индекса .
В).
– n-мерный параболический цилиндр.
22. Линейные пространства. K-мерные плоскости.
Гиперплоскости и прямые. Взаимное расположение k-мерных плоскостей.
Множество L называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо:
1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём:
x + y = y + x − сложение коммутативно;
x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно;
x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);
x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x из L).
2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, наываемый произведением α и x, причём:
α·(β·x) = (α·β)·x − умножнение на число ассоциативно: ;
1·x = x − для любого элемента x из L.
3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями:
α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел.
Гиперплоскости и прямые.
Гиперплоскость — подпространство коразмерности 1 в векторном, аффинном пространстве или проективном пространстве; то есть подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство.
Например,
для двумерного пространства гиперплоскость
есть прямая (отражаемая уравнением 
),
для трёхмерного — плоскость и т. д.
Пусть
задано аффинное или евклидово пространство
размерности n.
К-мерной
плоскостью
наз-ся плоскость размерности к, т.е. она
задается некоторой фиксированной
начальной точкой и направляющим
подпространством, т.е. к-линейно
независимых векторов.
.
Плоскость размерности 1 – прямая.
Плоскость размерности (n-1)-гиперплоскость.
Способы
задания К-мерных плоскостей:
1.
.
2.
- k+1
– точкой. 3.
в евклидовом пространстве может быть
задана точкой и ортогональным дополнением
направляющего подпространства,
.
Уравнения К-мерных плоскостей:
1.
Параметрическое.
Пусть
,
задан базис
и начальная точка О. М0
будет задаваться координатами своего
радиус-вектора
.
.
Возьмем произвольную тHÎ
,
,
тогда
.
В координатной форме
.
2.
Общее
уравнение к-мерной плоскости:
1 способ - для аффинного или евклидового
пространства точечных пространств
общее уравнение может быть получено из
параметрических след образом: из
к-параметрических ур-й выражаем пар-ры
;
полученные выражения подставляем в
оставшиеся (n-k)-уравнений.
2 способ – в евклидовом точеченом
пространстве к-мерная плоскость задана
.
,
,…,
.
Для любой точки М:
.
-нормальный
вектор.
Уравнения гиперплоскостей:
1.
Параметрическое.
,
.
2.
Общее
уравнение:
,
.
3.
,
.
Взаимное расположение k-мерных плоскостей.
К-мерные
плоскости пересекаются.
.
a)
2.
Параллельны:
.
a)
3.
.
a)
4.
скрещиваются (две
прямые в пространстве, не имеющие общих
точек, но не являющиеся параллельными),
.
Взаимное
расположение гиперплоскостей:
пусть заданы
,
.
1.
отношения
их соответствующих коэф-ов не
пропорциональны,
.
2.
.