17. Ортогональные системы функций.

Ортогональные сист.

Опр: Пусть – пространство со скалярным произведением. Если скалярное произв. , то эл. и будем называть ортогональными и писать . Очевидно, нуль пр-ва ортог. любому эл. Рассмотрим в эл. . Если при любых , то сист. эл. наз. ортогональной системой.

Теорема: Пусть – ортог. сист; тогда лин. незав.

Док-во: Пусть скаляры такие, что: . Умножив это равенство на скалярно, получим , но . Значит, . Это верно для . Значит, все , т.е. эл. лин. незав.

Опр: Если дана сист. эл. такая, что , , и при , при ( – символ Кронекера), то сист. эл. наз. ортонормированной.

Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Будем рассматривать сист., состоящие из беск. числа эл. пр-ва ( со скал. произв.), или, короче, . Сист. будем называть линейно независимой, если при любом сист. лин. независима. Сист. будем называть ортогональной, если все и , если . Сист. будем называть ортонормированной, если .

Оказывается, по любой лин. независимой сист. можно построить ортогональную сист. , а также ортонормированную сист. с помощью этого процесса.

Положим и заметим, что , так как сист. из одного эл. лин. независима, как часть . Далее, ищем в виде , где скаляр подберём так, чтобы было . Отсюда , т.е. . Итак, найдено, причём .

Далее рассуждаем согласно методу полной математической индукции. Пусть уже построены; ищем в виде: . Скаляры найдём из требования . Отсюда . При этом . Итак, ортогональная сист. построена. Полагая , получаем ортонормированную систему .

Зам.: Процесс ортогонализации при его реализации на ЭВМ обычно оказывается численно неустойчивым.

Пример: Для того, чтобы построить ортогональный базис подпр-ва (линейная оболочка), натянутого на данную сист. векторов, нужно применить процесс ортогонализации.

Пусть дана система векторов: , , .

Возьмём такое ; . Далее вычислим: .

Возьмём такое ; . Далее вычислим: .

Возьмём такое ;

, , – ортогональный базис.

. –Ортонормированный базис.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций. В гиль. пр-ве.

Пусть беск.мерном пр-ве со скалярным произв. дана ортогональная сист. , т.е. при . Ряд вида наз. рядом по ортогональной сист. .

Пусть . Числа наз. коэффициентами Фурье эл. по ортог. сист. , а ряд наз. рядом Фурье по ортог. сист. . Многочлен – частичная сумма ряда Фурье – называется многочленом Фурье эл. .

Зам.: Если – сист. тригоном. ф., то имеем тригонометрический ряд Фурье. Аналогично имеем и тригонометрический многочлен Фурье, обозначаемый . Если , тогда наз. обобщенным рядом Фурье по ортог. сист.

Экстремальное свойство отрезка (коэфф.) ряда Фурье.

В матем. встречаются различные понятия близости функций: , , и т.д. В ряде случаев такая оценка не удобна, если значительно отличается от лишь на достаточно малом интервале, содержащемся а отр. . Поэтому за меру уклонения примем число , называемое средним уклонением и опред. так: . По определению нормы среднее квадратичное уклонение можно переписать в виде: .

Рассмотрим вопрос о приближении ф. с помощью обобщенных рядов Фурье. Пусть, обобщ. ряд Фурье по ортог. сист. ф. сходится в т. (или на всём отрезке ) к ф. . Тогда ф. с любой степенью точности может быть приближённо представлена его частичной суммой, ортогональным многочленом Фурье: .

Рассмотрим задачу аппроксимации рядом Фурье. Пусть заданы: ф. , ортонорм. на отр. сист. ф. и порядок обобщ. многочлена . Требуется подобрать коэфф. таким образом, чтобы было минимальным.

Теорема (Об экстремальном свойстве коэфф. Фурье): Среди всех обобщённых многочленов вида , наилучшей средней квадратичной аппроксимацией ф. на отрезке является многочлен Фурье, т.е. такой многочлен, коэффициенты которого находятся по формулам: .

Док-во: Необходимо так подобрать коэфф. ортонорм. многочлена степени , чтобы норма разности ф. и многочлена : . Т.е. принимала наим. значение. Для определения коэфф. , , запишем квадрат нормы разности ф. и многочлена : .

Видно, что первое и третье слагаемые в полученной формуле не зависят от коэфф. многочлена Фурье , в то время как второе слагаемое зависит от , причём квадратичная аппроксимация будет наилучшей, когда , т.е. когда аппроксимирующий многочлен является -й частичной суммой обобщённого ряда Фурье.

Неравенство Бесселя и его следствия.

Исходя из доказанной теоремы, наилучшее приближение в среднем квадратичном к ф. даёт -я частичная сумма: ряда Фурье, причём: . Отсюда, учитывая, что , имеем: , и следовательно: . Из последнего нерав. следует сходимость ряда: .

Найдём предел при : . Данное нерав. называется неравенством Бесселя. В случае ортогональной сист. нерав. принимает вид:

.

Сходимость Ряда Фурье. Равенство Парсеваля.

Опр(Равномерная сход.): Ряд Фурье наз. равномерно сходящимся к ф. на отр. , если послед. его частичных сумм (ортог. многочленов Фурье) сходится к ф. равномерно, т.е. для можно указать такое число , что при всех будет выполнятся нерав.: .

Опр(Обобщение равном. сход.): Ряд Фурье наз. сход. в среднем квадратичном к ф. на отр. , если послед. его частичных сумм (многочленов Фурье) сходится к ф. в средне квадратичном, т.е.: .

Теорема: Если обобщенный ряд Фурье ф. сход. на отр. равномерно к ф. , то он сходится к на и в среднем квадратичном.

Теорема: Для того чтобы обобщённый ряд Фурье ф. сходился к ф. на в среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось для в равенство, т.е. чтобы выполнялось равенство Парсеваля-Стеклова: .

Док-во: Необходимость: Из сходимости ряда в среднем квадратичном к ф. на отр. следует, что: ;

Достаточность: Пусть выполняется рав. Парсеваля-Стеклова, тогда: , .

т.е. ряд Фурье сходится в среднем квадратичном.

Зам.: Ортогональную сист. ф. для которой вып. рав. Парсеваля-Стеклова наз. замкнутой в , а само ур. уравнением замкнутости.