Функциональный анализ

16. Гильбертовы пространства

Определение и простейшие свойства. Примеры гильбертовых пространств. Понятие ортогональности в гильбертовом пространстве. Полнота системы функций в гильбертовом пространстве.

Гильбертовы пространства.

Нормированное, метрическое пр-во. Норма. Лин.зав. Базис.

Опр: Мн-во эл. наз. Линейным пр-вом, если в нем определены две операции:

1. Каждым двум эл. поставлен в соответствие определённый эл. , наз. суммой.

2. Каждому эл. и каждому числу (скаляру) поставлен в соответствие опред. эл. – произведение эл. на скаляр так что выполняются аксиомы (для , )

1. ;

2. ;

3. , ;

4. ;

5. ;

6. ;

Опр: Вещественное линейное пр-во наз. Евклидовым, если каждой паре его эл. и поставлено в соответствие вещественное число и наз. скалярным произведением, так что:

1. причём только когда ;

2. , ( – для унитарных, где черта компл. сопряжение);

3. ;

4. ;

Пр-во наз. унитарным, если выполняются аксиомы + 2 аксиома(в скобках).

Опр: Лин. пр-во наз. нормированным пр-вом, если каждому поставлено в соответствие неотрицательное число (норма ) так, что выполнены следующие три аксиомы:

1. , только когда (невырожденость нормы);

2. ( однородность нормы);

3. ( неравенство Коши-Буняковского);

4. ( неравенство треуг.);

Т.е. Норма – это определённая всюду на ф. с неотрицательными значениями и со свойствами 1-3

В нормированном пр-ве расстояние между двумя любыми эл. нах. по формуле: .

Опр: Мн-во наз. метрическим пространством, если каждой паре его эл. и поставлено в соответствие веществ. число , удовлетворяющее аксиомам:

1. только когда ;

2. ;

3. ;

Можно сказать, что метрич. пр-во это обобщение норм. пр-ва.

Опр: Мн-во , где – фикс. т., а , наз. открытым шаром с центром в т. , радиуса . Аналогично: – замкнутый шар.

– сфера. Они очевидно связаны:

Опр: Пусть – лин. пр-во. Пусть даны эл. . Тогда сумма вида: , где – числа, называется линейной комбинацией эл. . Эл. наз. линейно зависимыми, если их лин. комб. , где не все . Если то лин. независимыми.

Лин. пр-во наз. -мерным, если в нём лин. незав. векторов, а всякие векторов лин. зав.

наз. базисом в -мерном лин. пр-ве .

Полнота и плотность, сепараб. пр-ва. Банаховы, Гильбертовы пр-ва.

Опр(Крит. Коши): Рассмотрим в норм. пр-ве послед. эл. . Эл. наз. пределом послед. , если при . Если есть предел , то будем писать или при и говорить, что послед. сходится к или просто сходится. Назовём окрестностью т. любо открытый шар .

Опр: Пусть – нормированное пр-во. Послед. наз. фундаментальной, если для любого номер такой, что для номеров и натуральных выполняется нерав.: .

Опр(Банаховы пр-ва): Нормированное пр-во наз. полным, если в нём всякая фундаментальная послед. сходится. Полное нормированное пр-во наз. банаховым пространством.

Примеры: Пр-во банахово. (Действительно, на вещ. числовой оси имеет место крит. Коши: для того чтобы послед. была сходящейся необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Т.е. вся вещ. ось заполнена точками – вещ. числами, на ней нет «дыр»,т.е. что она полна.) Пр-во банахово, ( т.к. в тоже справедлив критерий Коши).

Опр(Линейное многообразие): Мн-во в лин. пр-ве наз. лин. многообразием (лин. мн-вом), если для и любых скаляров , линейная комбинация: .

Опр(Аффинное многообразие): Пусть – лин. многообразие в лин. пр-ве . Фикс. т. . Тогда мн-во наз. аффинным многообразием в . В трёхмерном пр-ве всякая прямая и всякая плоскость, не проходящие через начало коорд., являются аффинными многообр.

Опр(Плотность): Линейное многообразие , лежащее в нормированном пр-ве , наз. плотным в , если для и найдётся эл. такой, что .

Опр(Базис): Пусть – бесконечномерное банахово пр-во. Послед (или наз. базисом в , если любой эл. может быть однозначно представлен в виде сход. ряда: . При этом скаляры наз. координатами эл. в базисе . Из однозначности представления (разложения) по базису вытекает лин. незав. всякого конечного набора векторов базиса.

Опр(Сепарабельность): Нормированное пр-во наз. сепарабельным, если в нём счётное, плотное в множество.

Примеры: Банахово пр-во со счётным базисом сепарабельно. Любое конечномерное пр-во сепарабельно ( достаточно фикс. в нём базис и рассмотреть мн-во эл. с рациональными коорд).

Опр(Гильбертовы пр-ва): Пространство со скалярным произведением наз. гильбертовым, если оно полно в норме, порождённой скалярным произведением, и обозначают буквой .

Простейший пример: полное евклидово пр-во .

Пусть – поле чисел над которым задано скалярное произведение. Тогда если пр-во действительное, если пр-во комплексное.

Пр-во : Оно состоит из всех таких послед. , где , для которых сходится ряд: . Скалярное произведение и норма для векторов , определяются формулами: , . Пр-во полно и содержит счётное всюду плотное множество векторов , у которых коорд. рациональны и лишь конечное их число отлично от нуля. Поэтому – сепарабельное гильбертово пр-во.

Пр-во (пр-во Лебега): Пусть – это измеримое пространство с положительной мерой. Измеримые ф. , у которых при будем обозначать как (или или – пр-во Лебега. Разбивая ф. из класса на классы эквивалентных ф. (Факторизация), получим класс при . Важным свойством (Для нас) является норма (точнее полунорма), определяемая формулой: . По теореме Риса-Фишера, пр-во полно, т.е. любая фундаментальная послед. в сход. к эл. этого же пр-ва. Следовательно – банахово пр-во.

Пр-во : В случае норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность и проекция. Скалярное произведение определяется так: – интеграл Лебега при . Или проще: . А норма порождается скалярным произведением: . Т.к. по теореме Риса-Фишера любое полно, то – гильбертово.

Опр(Ортогональность): Пусть – пространство со скалярным произведением. Если скалярное произв. , то эл. и будем называть ортогональными и писать . Очевидно, нуль пр-ва ортог. любому эл.

Опр(Ортогональные доп.): Пусть – лин. многообразие в . Совокупность всех эл. из , ортогональных к , называется ортогональным дополнением к и обозначается: .

Теорема: – подпространство в .

Таким образом, гильбертово пространство есть банахово пространство (полное нормированное пространство), норма которого порождена положительно определённым скалярным произведением и определяется как  .