15. . Ряды Лорана. Вычеты аналитических функций.

Правильная и главная часть ряда Лорана. Изолированные особые точки. Основная теорема о вычетах. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

Ряды Лорана. Вычеты аналитических функций.

Ряд Лорана. Кольцо сходимости. Правильная часть.

Рассмотрим ряд вида: , где – фиксированная т. комплексной плоскости, – некоторые комплексные числа, а суммирование ведётся как по положительным, так и по отрицательным значениям индекса . Этот ряд наз. рядом Лорана.

Представим ряд (1) в виде: , где – правильная часть ряда, а – главная часть. Ряд Лорана считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходится его правильная и главная части. Покажем это.

Установим область сходимости. Для этого представим в несколько ином виде: . Теперь: (2). Из определения следует, что обл. сходимости ряда (1) является общая часть областей сходимости каждого из слагаемых правой части (2). Обл. сходимости является круг с центром в точке некоторого радиуса ( значение может равняться 0 или . Следствие теоремы Абеля). Внутри круга сходимости этот ряд сходится к некоторой аналитической ф.компл. переменной: , . Для определения обл. сход. ряда сделаем замену переменной, положив . Тогда этот ряд примет вид . Т.е. он представляет собой обычный степенной ряд, сходящийся внутри своего круга сходимости к некоторой аналит. ф. комплексной переменной . Обозначим радиус сходимости полученного степенного ряда через . Тогда , . Вернёмся к старой переменной, и полагая , получим: , .

Отсюда следует, что обл. сход. ряда по отрицательным степеням разности является обл., внешняя к окружности ( также , как и , может в частности равняться 0 или ). Теперь, каждый из степенных рядов сход. в своей области. Если , то

общая область сходимости этих рядов ­– круговое кольцо (кольцо сходимости) в котором ряд (1) сходится к аналитической ф.: , . Если , то степенные ряды общей обл. сходимости не имеют. Следовательно, ряд нигде не сходится к какой-либо ф.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд сходится в некоторой т. , то он абсолютно сходится и любой т. , удовлетворяющей условию: ; Причём в круге радиуса меньшего , ряд сходится равномерно.

Док-во.

Выберем произвольную т. , удовлетворяющей условию ; и рассмотрим ряд: . Обозначим: , . В силу необходимого условия сходимости ряда его члены стремятся к нулю при . Следовательно, такая константа , что . Отсюда для коэфф. получим оценку: . Тогда:

По условию . Ряд , представляет собой сумму беск. геом. прогрессии со знаменателем , сходится. Тогда из (3) следует сходимость и рассматриваемого ряда. Чтобы доказать равномерную сходимость ряда в круге , достаточно, в силу признака Вейерштрасса, построить сход. числовой ряд, мажорирующий данный функц. ряд в рассм. обл. Таковым является ряд: , также представляющий собой сумму беск. геом. прогрессии со знаменателем .

Следствия:

1. Если степенной ряд расходится в некоторой т. , то он расходится и во всех т. , удовлервор. нерав.: .

2. Для всякого степенного ряда такое число , что в нутрии круга данный степенной ряд сходится, а вне этого круга расходится. Также, радиус сход. в зависимости от вида коэфф. степ. ряда, может иметь любое знач. в пределах от 0 до .

3. Внутри круга сход. степенной ряд сход. к аналитической ф. Следовательно сумма ряда есть аналитическая ф.

4. Степ. ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифф.-ть любое число раз, причём радиус сход. полученых рядов равен радиусу исходного ряда.

Классификация особых т.

Определение 1: Т. называется изолированной особой т. ф. , если ф. однозначная и аналитическая в круговом кольце , а т. является особой т. ф. . В самой т. ф. может быть и не определена.

Теорема: Если т. является устранимой особой т. аналит. ф. , то предельное значение , причём .

Теорема (обратная пред. и более точная): Если ф. , аналитическая в круговом кольце , ограничена при , то т. есть устранимая особая т. ф. .

Определение 2: Ряд Лорана ф. в окрестности её изолированной особой т. содержит конечное число членов с отрицательными степенями разности , т.е. . В этом случае т. называется полюсом порядка функции .

Теорема (Поведение аналит. ф. в окрестности полюса): Если т. является полюсом аналит. ф. , то при модуль ф. неограниченно возрастает независимо от способа стремления точки к . Верно и обратное.

Определение 3: Ряд Лорана ф. . в окрестности её изолированной особой т. содержит беск. число членной с отрицательными степенями разности , т.е. . В этом случае т. называется существенно особой т. ф. .

Теорема (Сохоцкого – Вейерштрасса): Каково бы ни было , в окрестности существенно особой т. ф. найдётся хотя бы одна т. , в которой значение ф. отличается от произвольно заданного комплексного числа больше чем на .

Зам.: Теорема говорит о том что в сущ. особой т. не конечного или беск. предельного значения аналитической ф.

Вычеты аналитических функций.

Пусть т. является изолированной особой т. однозначной аналитической ф. . В окрестности этой т. ф. может быть единственным образом разложена в ряд Лорана: , где и, в частности, .

Вычетом аналитической ф. в изолированной особой точке называется комплексное число, равно значению интеграла: , взятому в положительном направлении по любому лежащему в области аналитичности ф. замкнутому контуру , содержащему единственную особую т. ф. . Обозначают так: или .

Если т. является устранимой особой т. ф. , то вычет ф. в этой т. равен нулю. Для вычисления вычета ф. в её изолированной особой т. можно использовать формулу: .Однако, в ряде случаев, вычет можно вычислить, дифференцированием ф. в окрестности т. . Т.е. вычисление контурного интеграла от аналит. ф. может быть заменено вычислением производных от этой ф. в некоторых точках, лежащих внутри контура интегрирования.

1. Пусть точка является полюсом первого порядка ф. . Тогда в окрестности этой т. имеет место разложение: . Умножим обе части на и перейдя к пределу при : . Тогда, в данном случае ф. в окрестности т. может быть представлена в виде отношения двух аналитических ф.: , причём а т. является нулём первого порядка ф. , т.е. .

Тогда из полученных формул, получим формулу вычисления вычета в полюсе первого порядка: , .

2. Пусть т. является полюсом порядка ф. . Тогда формула вычисления вычета в полюсе порядка : .

Основная теорема теории вычетов.

Пусть ф. является аналитической всюду в замкнутой области , за исключением конечного числа изолированных особых т. , лежащих внутри обл. . Тогда: , где представляет собой полную границу обл. , проходимую в положительном направлении.

Док-во.

Е сли ф. является аналит. в замкнутой обл. , то все т. границы этой области суть правильные т. ф. . Выделим каждую из особых т. ф. замкнутым контуром , не содержащим внутри других особых т., кроме т. . В замкнутой многосвязной обл., ограниченной контуром и всеми контурами (Рис. 5.1) ф. является всюду аналитической. Поэтому по второй теореме Коши получим: . Перенеся второе слагаемое в право, мы в силу формулы и получим утверждение теоремы.

Зам.: Практическое значение этой формулы заключается в том, что во многих случаях оказывается гораздо проще вычислить вычеты ф. в особых точках, лежащих в обл. интегрирования, чем сам интеграл в левой части.

Вычисление определённых интегралов с помощью вычетов.

1. Рассмотрим интеграл вида: , где – рациональная ф. своих аргументов. Тогда равно:

где – аналит. ф., – полюса ф. , – порядок полюса .

2. Рассмотрим интеграл вида: , в смысле главного значения, т.е. . Полагаем что непрывна на . Возможность исп. вычетов, основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы: , где – дуга окружности , . Тогда определяется как предел: