13. Тригонометрический ряд Фурье.

Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье периодических, четных, нечетных и непериодических функций.

Тригонометрический ряд Фурье.

Если разлагается на отрезке в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:

,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:

где

И называется: тригонометрический ряд Фурье, а – коэффициентами ряда Фурье.

Теорема Дирихле.

Опр1 (Кусочная монотонность).

Ф. называется кусочно монотонной на сегменте , если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов: , в каждом из которых ф. монотонна.

Если ф. кусочно монотонна на сегменте , то в любой внутренней т. этого сегмента правые и левые пределы её значений, т.е. пределы:

Т1. (Теорема Дирихле).

Если ф. задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках непрерывности этой функции:

а во всех т. разрыва

Разложение в ряд Фурье.

Разложение в ряд Фурье функций в интервале .

Пусть ф. кусочно-непрерывная и , тогда ряд Фурье имеет вид:

а коэффициенты Фурье равны:

Разложение в ряд Фурье функций в интервале .

Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется той же формулой:

где , а коэффициенты Фурье равны:

Разложение в ряд Фурье чётной функции.

Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется формулой:

а коэффициенты Фурье равны:

Разложение в ряд Фурье нечётной функции.

Если ф. определена в интервале , то её разложение в ряд определяется формулой:

а коэффициенты Фурье равны:

Комплексный анализ

14. . Элементарные функции комплексного переменного.

Однозначные и многозначные функции. Обратные функции. Аналитические функции. Элементарные функции и их свойства

Понятие ф. компл. переменного.

Пусть область в комплексной плоскости . Если каждой т. поставить в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что на области задана однозначная ф. компл. переменного и обозначается: . Область называется областью определения ф.,

– аргумент ф., – значение ф. в т. .

Если каждому ставится в соответствие несколько значений , то на области задана многозначная ф. компл. переменного.

Ф. называется обратной функцией к ф. компл. переменного.

Действительные и мнимые части.

Так как задание компл. числа равносильно заданию двух действительных переменных и

, то числу тоже соответствуют два действительных числа и : , где – действительная часть, а – мнимая часть. Тогда зависимость равносильна двум зависимостям , , т.е. комплексная ф. комплексного переменного определяется двумя действительными ф. двух действительных переменных:

Многозначные функции.

Рассмотрим пример: . Положим и , тогда: , .

Эта ф. многозначна. В самом деле, положение т. на плоскости можно задать координатами , и, в тоже время, координатами , , и соответственно получаем два значения ф. :

, .

Но причина полученной здесь многозначности лежит в том известном факте, что квадратный корень из полож. числа может быть взят со знаком или . Если вместо взять показатель , то для любого получим четыре различных знач. ф.: , , , .

Если же возводить в степень (или любую иррац. степень), то получается беск. множество значений, отличающихся аргументами.

Многозначность влечёт за собой появление разрывов. Так, например, в точке ф. принимает значения или . Эти разрывы могут соответствовать реальной физической картине, когда на полуоси помещена преграда.

Понятие аналитической функции компл. переменного.

Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей.

Пусть даны две области , , и пусть их пересечение не пусто и является областью (рис.53). Пусть ф. регулярны в областях , соответственно, и пусть эти ф. совпадают в области , т.е. , . Тогда ф. называется непосредственным аналитическим продолжением ф. из области в область .

Всё аналогично и в случае областей (рис.54). Ф. называется аналитическим продолжением ф. вдоль цепочки областей , , , . Это продолжение единственно. Полученный набор регулярных ф. определяет некоторую ф. . Её значения определяются формулой: , . Заметим, что может оказаться неоднозначной, т.е. может пересечься с и цепочка областей замкнётся (Такое возможно даже на первом шаге! рис.55).

Аналитическое продолжение вдоль кривой.

Элементом в т. будем называть ф. , регулярную в некоторой окрестности этой т.

Определение: Пусть на кривой задана непрерывная ф. , в каждой т. кривой задан элемент и этот элемент совпадает с на некоторой дуге кривой , содержащей т. .

Тогда элемент в конечной т. кривой называется аналитическим продолжением вдоль кривой элемента , заданного в нач. т. кривой .

Определение аналитической функции.

Пусть в т. задан элемент . Продолжим его аналитически по всем кривым с началом в т. , по которым такое продолжение возможно; полученное множество элементов называется аналитической функцией, порождённой элементом . Множество всех таких кривых называется множеством допустимых кривых.

Точки и линии ветвления.

Риманова поверхность.

Рассмотрим случай неоднозначности продолжения (рис.55). Пусть ф. и тождественно совпадают лишь на области пересечения областей и . Рассмотрим область , где – та часть пересечения в которой ф. и различны.

В области определена единственная аналитическая ф. , являющаяся аналитическим продолжением , заданной в области на область . Эта ф. тождественно совпадает с ф. в области и с в области . Ф. может быть аналитически продолжена на множество двумя способами: или .

Это приводит к необходимости рассмотрения многозначной аналитической ф. , определённой в области и принимающей различные значения в одних и тех же точках части области . В частности, получаем двухзначную аналитическую ф. , принимающую в одной и той же т. два различных значения, совпадающие со знач. ф. или в этой т.

Работая с многозначной ф. , встречаются трудности с выбором её значений в этой т. И для удобства пользуются понятием ветви аналитической ф. являющейся однозначной и непрерывной ф. в обл. опред. ф. . Однако более удобным оказывается иное представление: будем рассматривать данную ф. как однозначную, но определённую на более сложном многообразии, чем обычная плоскость комплексной переменной.

Будем считать, что обл. и склеены по общей части , в которой ф. и совпадают, а два экземпляра принадлежащие областям и оставлены свободными. Тогда на полученном геометрическом многообразии, представляющем собой объединение областей и склеенных по , ф. является однозначной аналитической ф.

Построенное таким образом многообразие называется Римановой поверхностью аналитической ф. , являющейся аналит. продолжением ф. (или ), а отдельные экземпляры повторяющихся областей – различными листами римановой поверхности.

Таким образом, вместо рассмотрения многозначной ф. на комплексной плоскости мы можем рассматривать однозначную ф. на Римановой поверхности.

Элементарные функции комплексного переменного (определение через ряды).

Показательная функция.

Одно из важнейших свойств ф. – представление её рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда . Этот ряд абсолютно сходится при любом . т.е. во всей компл. обл. определена некая ф. – сумма этого ряда.

Определение: показательной ф. в компл. обл. называется ф., которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда , где . В частности, при , где – действительное число, имеем .

Используя свойства абсолютно сходящихся рядов (возможность перестановки и группировки членов ряда), ряд можно записать в виде алгебраической суммы двух рядов с действительными членами, и отделить действительную и мнимую части ряда:

Полученные ряды являются рядами Тейлора для функции и . В результате имеем равенство: . Обозначив через : – получим формулу Эйлера, аналогичную формуле используемой для записи компл. числа в показательной форме.

Свойства.

Ф. обладает рядом свойств в справедливых в действительной обл. т.е. для . В силу расширения множества до комплексного, появятся свойства аналогов которым в действительной обл. нет.

1. . (1)

Док-во: .

2. Если в равенстве (1) положить , – любое комплексное число, то, учитывая тождество , можно записать . Это равенство, справедливое при любых значениях , означает, что функция является периодической и её период – чисто мнимое число . Аналога этому свойству в действительной области нет, ф. ­– непериодическая.

3. .

Док-во: Предположим противное, что , при котором , то из тождества , где – любое комплексное число, получили бы, при любом , что неверно.

4. Ф. принимает любые значения из компл. обл. (даже отрицательные, в отличии от действительной обл.) кроме нуля.

Док-во: Положим , и сравним равенство с показательной формой записи компл. числа. В результате получим, что при фиксированном , т.е. при фикс. и , а . Отсюда получаем, что принимает любые значения , т.к. – любое число.

Тригонометрические и гиперболические компл. ф.

Ф. , , , вводится аналогично показательной ф. – как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей компл. плоскости рядов:

На основе этих ф. определяются и другие:

Ф. , являются четными, а , – нечётными.

Аналогично определению ф. , получаем формулы : , . Формулы Эйлера, связывающие тригон. и гипер. ф. с показательной.

В силу св-ва четности (нечётности) верны равенства: , .

Из этих формул можно получить представление тригон. и гипер. ф. через показательную:

Эти формулы позволяют использовать при исследовании гипер. и тригон. ф. в компл. обл. свойства показательной ф. и не обращаться к действиям с рядами ( что сложнее). С их помощью устанавливается справедливость формул тригонометрии, в частности:

Кроме того, тригон. и гипер. ф. выражаются через , они ещё и связаны между собой:

В частности: , .

Как и в действительной обл., тригон. ф. и являются периодическими и их период равен . А гипер. ф., не периодические в действительной обл., в компл. обл. являются периодическими, их период, как и к ф. – мнимое число .

Замечательным свойством, не имеющим аналога в действ. обл., является свойство неограниченности ( по модулю) ф. и . Эти ф. могут принимать любые значения, в частности больше 1. Например: .