Признак Вейерштрасса.
Если
члены функционального ряда
удовлетворяет в области
неравенствам:
,
где
суть члены некоторого сходящегося
числового ряда:
,
то ряд
сходится в
равномерно.
Опр3 (Мажоритарность).
При наличии неравенства говорят, что ряд мажорируется рядом , или что служит мажоритарным рядом для .
Признак Абеля.
Пусть
ряд:
сходится равномерно в области
,
а функции
(при каждом
)
образуют монотонную последовательность
и в совокупности – при любых
и
– ограничены:
.
Тогда ряд
,
сходится равномерно в области
.
Признак Дирихле.
Пусть
частичные суммы
ряда
в совокупности – при любых
и
– ограничены:
,
а функции
( при каждом
)
образуют монотонную последовательность,
которая сходится к 0 равномерно в области
.
Тогда и ряд
сходится равномерно в этой области.
Непрерывность суммы ряда.
Т1. (Формулировка Коши).
Пусть
функции
определены в промежутке
и все непрерывны в некоторой т.
этого промежутка. Если ряд
в промежутке
сходится равномерно, то и сумма ряда
в т.
также непрерывна.
Т2.
Пусть члены ряда непрерывны во всём промежутке и положительны. Если ряд имеет сумму , также непрерывную во всём промежутке, то он сходится в этом промежутке равномерно.
Т2. (Формулировка Арцела).
Пусть
функции
определены и непрерывны в промежутке
,
и ряд
сходится в этом промежутке. Для того
чтобы сумма ряда
также была непрерывна в
,
необходимо и достаточно. чтобы ряд
сходился в
к
квази-равномерно.
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Почленный переход к пределу.
Пусть
каждая из ф.
определена в области
и имеет, при стремлении
к
,
конечный предел:
.
Если ряд
в области
сходится равномерно, то сходится ряд,
составленный из этих пределов:
,
и сумма ряда
,
,
также имеет при
предел:
.
Последнее равенство можно переписать в форме:
таким образом, при наличии равномерной сходимости, предел суммы ряда равен сумме ряда, составленного из пределов его членов, или, иными словами, в ряде допустим предельный переход почленно.
Почленное интегрирование рядов.
Если функции непрерывны в промежутке , и составленный из них ряд сходится в этом промежутке равномерно, то интеграл от суммы ряда представляется следующим образом:
Последнее равенство можно переписать в форме:
так что в случае равномерно сходящегося ряда интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов его членов, или, иными словами, допустимо почленное интегрирование ряда.
Почленное дифференцирование рядов.
Пусть
функции
определены в промежутке
и имеют в нем непрерывные производные
.
Если в этом промежутке не только сходится
ряд
,
но и равномерно сходится ряд, составленный
из производных:
то
и сумма
ряда имеет в
производную, причём:
.
Последнее равенство можно переписать в форме:
Таким образом, при указанных условиях, производная от суммы ряда оказывается равна сумме ряда, составленного из производных его членов, или, иными словами, допустимо почленное дифференцирование ряда.
Степенные ряды.
Равномерная сходимость рядов. Непрерывность суммы ряда.
Степенным радом, будем называть ряд вида:
Пусть
ряд
имеет радиус
сходимости
,
тогда справедливы утверждения:
Какое бы положительное число
ни взять, ряд
будет сходится равномерно относительно
в замкнутом промежутке
.Сумма степенного ряда (1) для всех значений между
и
представляет собой непрерывную ф. от
.Если два степенных ряда:
в окрестности т. имеют одну и ту же сумму, то эти ряды тождественны. т.е. их коэфф. попарно равны.
Если степенной ряд (1) на конце
его промежутка сходимости, расходится,
то сходимость ряда в промежутке
не может быть равномерной.Обратное 4).Если степенной ряд (1) сходится и при (хотя бы и не абсолютно), то сходимость ряда будет необходимо равномерной во всём промежутке
.Теорема Абеля.
Если степенной ряд (1) сходится при , то его сумма сохраняет непрерывность и при этом значении (слева), т.е.
Приложение теоремы.
Если
для ф.
получено разложение в степенной ряд
лишь в открытом промежутке
:
но ф. сохраняет
непрерывность, а ряд продолжает сходится,
и на каком-либо из концов этого промежутка,
например, при
,
то разложение остаётся верным и для
этого конца.
Почленное интегрирование и дифференцирование рядов.
Степенной ряд (1) в промежутке
,
где
,
всегда можно интегрировать почленно,
так что:
Значение здесь может совпадать и с одним из концов промежутка сходимости, если на этом конце ряд (1) сходится.
Степенной ряд (1) внутри его промежутка сходимости можно дифференцировать почленно, так что:
Утверждение сохраняет силу и для конца промежутка сходимости, если только написанный ряд на этом конце сходится.
Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.
Ф., представляемая степенным рядом в его промежутке сходимости, имеет внутри этого промежутка производные всех порядков. Сам ряд, по отношению к этой ф., является не чем иным, как её рядом Тейлора.
Ф.,
которая разлагается в ряд Тейлора по
степеням
,
называется аналитической в т.
.
Разложение элементарных функций.
Разложение в ряд функции
.
Разложение в ряды
и
.
Разложение в ряды
и
.
Формула Эйлера.
Разложение в ряд
.
где
остаточный
член в виде Лагранжа, где
и
.
Разложение в степенной ряд степени бинома
.
Если
,
то ряд превращается в бином Ньютона.
Разложение в ряд
.
где
.
Разложение в ряд
.
