11. Числовые ряды и их свойства.

Признаки сходимости положительных рядов. Абсолютная и условная сходимость. Теорема Лейбница Функциональные и степенные ряды. Сходимость и равномерная сходимость рядов. Непрерывность суммы ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора

Числовые ряды и их свойства.

Опр1 ( Бесконечный ряд).

Пусть задана некоторая бесконечная послед. чисел: Тогда

называется бесконечным рядом, а сами числа – членами ряда.

Опр2 ( Частные суммы).

Станем последовательно складывать члены ряда, составляя (в бесконечном количестве) суммы;

, , , ;

их называют частными суммами (или отрезками) ряда.

Опр3 ( Сумма ряда).

Конечный или бесконечный предел (при частичной суммы ряда :

называют суммой ряда и пишут:

Опр4 ( Сходящийся (расходящийся) ряд).

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае (т.е. если сумма равна , либо нет суммы вовсе) расходящимся.

Опр5 (Остаток ряда).

Если в ряде отбросить первые членов, то получится ряд:

называемый остатком ряда после – го члена.

Свойства рядов.

1. Если сходится ряд, то сходится и любой из его остатков. Верно и обратное.

2. Если ряд сходится, то сумма его остатка после – го члена с возрастанием стремится к нулю.

3. Если члены сходящегося ряда умножить на один и тот же множитель , то его сходимость не нарушается (а сумма лишь умножится на ).

4. Два сходящихся ряда: и можно почленно складывать (или вычитать). так что ряд: также сходится, и его сумма равна, соответственно, .

5. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Признаки сходимости положительных рядов.

Пусть ряд: будет положительным, т.е. . Тогда .

Т1. ( Основная теорема сходимости).

Положительный ряд всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд – сходящимся), если частичные суммы ряда ограниченны сверху, и бесконечной (а ряд – расходящимся) в противном случае.

Абсолютная и условная сходимость.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд также сходится.

Если ряд сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.

Ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд расходится.

Теорема Лейбница.

Если числовая последовательность, и выполняются условия:

1. для всех .

2. .

То сходятся знакочередующиеся ряды:

12. Функциональные и степенные ряды.

Сходимость и равномерная сходимость рядов. Непрерывность суммы ряда. Почленное интегрирование и дифференцирование рядов. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Функциональные ряды.

Сходимость и равномерная сходимость рядов.

Допустим, что для всех из имеет место равенство . По определению предела это значит: лишь только фиксированное значение из , по любому заданному найдётся такой номер , что для всех выполняется неравенство: где подразумевается именно то значение, которое было заранее фиксировано.

Опр1 (Равномерная сходимость).

Если послед. имеет в предельную функцию и для каждого числа такой не зависящий от номер , что при неравенство выполняется сразу для всех из , то говорят, что послед. сходится к ф. равномерно относительно в области .

Если частичная сумма стремится к сумме ряда равномерно относительно в области , то говорят, что ряд равномерно сходится в этой области.

Опр2 (Условие равном. сходимости).

Для того чтобы послед. имела предельную ф. и сходилась к этой ф. равномерно относительно в области , необходимо и достаточно, чтобы для каждого числа существовал такой же не зависящий от номер , чтобы при м любом неравенство: имело место для всех из одновременно.

Признаки равномерной сходимости рядов.