10. Криволинейные интегралы.

Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их вычисление и приложения. Формула Остроградского-Гаусса, Грина, Стокса

Криволинейные интегралы 1–го рода.

Определение.

Пусть кривая описывается векторной ф. , причём , где переменная – длина дуги кривой (Рис.1).

Если на кривой определена скалярная функция , то интеграл называется криволинейным интегралом первого рода от скалярной ф. вдоль кривой и обозначается:

Криволинейный интеграл , если ф. непрерывна на кривой .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. Интеграл не зависит от ориентации кривой;

2. Пусть кривая начинается в т. и заканчивается в т. , а кривая начинается в т. и заканчивается в т. (Рис. 2). Тогда их объединением будет кривая , которая проходит от к вдоль кривой и затем от к вдоль кривой . Тогда справедливо соотношение:

3. Если гладкая кривая задана параметрически соотношением , причём и скалярная ф. непрерывна на кривой , то:

4. Если гладкая кривая в плоскости определена ур. , причём , то:

5. Если гладкая кривая в плоскости определена ур. , причём , то:

6. В полярных координатах интеграл  выражается формулой:

где задана в полярных координатах ф. , причём .

К риволинейные интегралы 2–го рода.

Определение.

Пусть кривая описывается векторной ф. , причём , где переменная – длина дуги кривой. Тогда производная векторной ф.: представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (Рис 1.)

В приведенной выше формуле , и – углы между касательной и положительными направлениями осей , и , соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой , так, чтобы для скалярной функции: существовал криволинейный интеграл: . Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции

вдоль кривой C и обозначается как: . Таким образом:

в векторной форме:

где .

Свойства криволинейного интеграла второго рода:

1. Пусть обозначает кривую с началом в точке и конечной точкой . Обозначим через

кривую противоположного направления от к . Тогда:

2. Если объединение кривых и , то:

3. Если кривая задана параметрически в виде: , , то:

Приложения криволинейных интегралов.

Геометрические Приложения криволинейных интегралов.

1. Длинна кривой.

Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной кривой, которая описывается вектором , . Тогда длина выражается формулой:

где – производная, а , , – компоненты векторной функции .

Если кривая представляет собой график заданной явно, непрерывной и дифференцируемой функции , в плоскости , то длина такой кривой вычисляется по формуле:

Если кривая задана в полярных координатах уравнением: , , и ф. является непрерывной и дифференцируемой в интервале , то длина кривой определяется выражением:

2. Площадь области, ограниченной замкнутой кривой.

Пусть является гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой, заданной в плоскости . Тогда площадь области R, ограниченной данной кривой, определяется:

Здесь предполагается, что обход кривой производится против часовой стрелки.

3. Объем тела, образованного вращением замкнутой кривой относительно оси .

Предположим, что область R расположена в верхней полуплоскости и ограничена гладкой, кусочно-непрерывной и замкнутой кривой , обход которой осуществляется против часовой стрелки. В результате вращения области вокруг оси образуется тело .

Объем данного тела определяется формулами:

Физические Приложения криволинейных интегралов.

1. Масса кривой.

Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой . Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью . Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода:

2. Центр масс и моменты инерции кривой.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой , а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности .

Тогда моменты инерции определяются формулами:

Координаты центра масс кривой определяются формулами:

Моменты инерции относительно осей , , определяются формулами:

3. Работа поля.

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой выражается через криволинейный интеграл второго рода:

где – сила, действующая на тело,  – единичный касательный вектор. Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

4. Закон Ампера.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией вдоль замкнутого контура пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром C. Это выражается формулой:

где – магнитная проницаемость вакуума, равная .

5. Закон Фарадея.

Электродвижущая сила , наведенная в замкнутом контуре , равна скорости изменения магнитного потока , проходящего через данный контур:

Формула Грина.

Формула Грина связывает двойной и криволинейный интегралы.

Пусть – конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости с кусочно-гладкой границей (т.е. состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых). Область с присоединённой границей обозначим .

Т1.

Пусть ф. и непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. и , то справедливо соотношение:

называемое формулой Грина. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.

Формула Стокса.

Формула Стокса обобщение формулы Грина.

Пусть – ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей . Окрестностью поверхности будем называть любое открытое множество , содержащее .

Т2.

Пусть в некоторой окрестности поверхности ф. , , непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и , то справедливо соотношение:

называемое формулой Стокса. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых указано такое направление обхода, при котором область остаётся слева.

Формула Остроградского.

Формула связывает тройной интеграл с поверхностным интегралом на границе области.

Пусть – конечная, многосвязная область в пространстве с кусочно-гладкой границей . Область с присоединённой границей будем обозначать через .

Т3.

Пусть ф. , , непрерывны в и имеют непрерывные частные производные первого порядка в . Если несобственные интегралы по области от каждой из частных производных ф. , и , то справедливо соотношение:

называемое формулой Остроградского. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы , на которых выбрана внешняя по отношению к сторона.