Оглавление

матан 2

1. . Числовые последовательности, операции над ними. 2

2. Предел функции одной и нескольких переменных. 4

3. Непрерывность функции одной и нескольких переменных. 7

4. Производные функции одной и нескольких переменных. 9

5. Основные теоремы дифференциального исчисления функции одной переменной. 12

6. Исследование функций одной и двух переменных с помощью производной. 14

7.Первообразная и неопределенный интеграл. 18

8.Интеграл Римана и его свойства. 22

9. Кратные интегралы. 26

10. Криволинейные интегралы. 33

11. Числовые ряды и их свойства. 38

12. Функциональные и степенные ряды. 40

13. Тригонометрический ряд Фурье. 45

Комплексный анализ 46

14. . Элементарные функции комплексного переменного. 46

15. . Ряды Лорана. Вычеты аналитических функций. 51

Функциональный анализ 55

16. Гильбертовы пространства 55

17. Ортогональные системы функций. 58

Алгебра и геометрия 61

18. Евклидово и унитарное пространства. 61

19. Основные алгебраические структуры. 65

20. Билинейные и квадратичные формы. 68

21. Гиперповерхности II порядка. 70

22. Линейные пространства. k-мерные плоскости. 72

23. Линейные операторы в евклидовом и унитарном пространствах. 74

Дискретная математика 76

24. Булевы функции. 76

25. Полные системы булевых функций. 79

26. Алгебра логики. 80

Дифференциальные уравнения 82

27.Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 82

28.Однородные уравнения первого порядка. 90

29.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных. 99

30.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней характеристического уравнения. 105

31.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характеристического уравнения. 107

32.Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. 109

33.Метод Фробениуса 110

Теория вероятностей и математическая статистика 110

34. Дискретные случайные величины. 110

35. Непрерывные случайные величины. 113

36. Моменты случайных величин. 115

37. Системы случайных величин. 117

38. Точечное оценивание параметров распределений. 120

39. Интервальное оценивание параметров распределений. 123

40. Проверка статистических гипотез. 124

Численные методы 126

41. Интерполяция функций многочленами. 126

42.Сжимающие отображения. 130

43.Итерационные методы решения систем нелинейных уравнений. 133

44.Методы Рунге-Кутта решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). 136

45.Численное интегрирование. 139

Методы оптимизации. Теория игр и исследование операций 144

46.Основные понятия теории игр 144

47.Одно – и многокритериальная оптимизация 147

48. .Оптимицация функционалов 156

матан

1. . Числовые последовательности, операции над ними.

Сходящиеся последовательности и их основные свойства.

Числовые последовательности, операции над ними.

Примерами числовых последовательностей могут служить:

1) последовательность всех элементов арифметической и геометрической прогрессии;

2) последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных в данную окружность;

3) последовательность , , …приближенных значений числа .

Опр1(Числовая послед.)

Если каждому числу n натурального ряда чисел ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число то множество занумерованных

вещественных чисел мы и будем называть числовой последовательностью.

Арифметические операции над числовыми послед.

Пусть даны произвольные последовательности и Тогда:

Сумма: или .

Разность: или .

Произведение: или .

Частным: или где ( .

Опр2(Ограниченной послед.)

Послед. наз. ограниченной сверху(снизу), если такое вещ. число M (число m), что каждый элемент послед. удовлетворяет нерав. При этом число M (число m) наз. верхней (нижней) гранью послед. , а нерав. наз. условием ограниченности послед. сверху(снизу).

Теорема (Больцано-Вейерштрасса).

Из любой ограниченной послед. можно выделить сходящуюся подпослед.

Зам1: Из любой огр. послед. можно выделить монотонную подпослед.

Зам2: Пусть –огр. послед., эл. которой находятся на сегменте .Тогда предел с любой сходящейся подпослед. также находится на сегменте .

Опр3(Бесконечно большие (малые) послед.)

Послед. ( ) наз. бесконечно большой (малой), если для любого положительного числа А (или ε) можно указать номер N такой, что при все элементы (или этой послед. удовлетворяют неравенству (или ).

Основные свойства (Теоремы)б.м. послед.

1) Сумма двух б.м. послед. есть б.м. послед.

2) Разность двух б.м. послед. есть б.м. послед.

3) б.м. послед. ограничена.

4) Произведение ограниченной послед. на б.м. послед. есть б.м. послед.

Док-во: Пусть –огр., а –б.м. послед. Т.к. послед. ограниченна, то число такое, что удовл. нерав. . Возьмём произвольное полож. число . Т.к. –б.м., то для полож. числа можно указать номер такой, что при выполняется нерав.: . Тогда при , . ⇒ –б.м.

5) Если все элементы б.м. послед. равны одному и тому же числу , то .

6) Если – б.м. послед., то , начиная с некоторого номера , определена послед. , которая является б.м. Если все элементы б.м. послед. , то послед. б.б.

Сходящиеся последовательности и их основные свойства.

Опр4 ( Сходящейся послед.)

Послед. наз. сходящейся, если такое число а, что для положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы этой послед. удовлетворяют нерав.: . При этом число а наз. пределом послед. . И записывают так:

или

Основные свойства сход. послед.

1) Сход. послед. имеет только один предел.

2) Сход. послед. ограничена.

3) Сумма сход. послед. и есть сход. послед., предел которой равен сумме пределов послед. и .

4) Разность сход. послед. и есть сход. послед., предел которой равен разности пределов послед. и .

5) Произведение сход. послед. и есть сход. послед., предел которой равен произведению пределов послед. и .

6) Частное сход. послед. и при условии, что предел , есть сход. послед., предел которой равен частному пределов послед. и .