Производная неявной функции.

Определение: Функция называется неявной, если она задается уравнением неразрешимым относительно z.

Начнем рассмотрение с неявной функции одного переменного : F(x,y)=0.

Теорема:

Пусть непрерывная функция y(x) задается неявно уравнением вида F(x,y)=0 и , , - непрерывные функции в области D, содержащей точку (x,y), удовлетворяющую уравнению F(x,y)=0. Кроме того, в этой точке , тогда функция y(x) имеет производную .

Пример:

_.

Решение:

_{Найдем производную.}

, .

_{Следовательно, .}

Рассмотрим теперь функцию вида .

, .

Пример:

Решение:

Так как



Найдем частные производные:

; ; .

Следовательно:

; .

Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.

Напомним определение полного дифференциала:

Определение: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции z=Ax+By+ линейная относительно x и y, где A и B – некоторые числа, а -бесконечно малая, имеющая порядок малости выше, чем (-расстояние между точками) .

Таким образом, полный дифференциал .

Для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности некоторой точки М можно представить в виде

При этом дифференциал функции f имеет вид:

,

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

Частные производные высших порядков.

Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y  их тоже можно продифференцировать.

Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , ,

Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.

Теорема:

_{Если функция} непрерывна вместе с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой .

_{Пример:}

Найти все частные производные до 3 порядка включительно функции:

Решение:

Экстремум функции 2 переменных.

Рассмотрим функцию z=f(x;y) двух переменных, определённую в некоторой области D.

Определение: Функция f(x;y) имеет строгий локальный максимум (минимум) в точке , если неравенство имеет место во всех точках из некоторой достаточно малой окрестности точки .

Определение: Функция f(x;y) имеет экстремум в точке, если эта функция имеет максимум или минимум в этой точке.

Необходимые условия экстремума.

Если дифференцируема в точке и имеет экстремум в этой точке, то её дифференциал равен нулю:

Определение: Точка называется стационарной точкой функции , если

Пусть -стационарная точка функции Обозначим

Достаточные условия экстремума.

1.Если и , то -точка максимума.

2.Если и , то -точка минимума.

3.Если , то -не является точкой экстремума.

4.Если то точка может как быть, так и не быть точкой экстремума, поэтому требуется дополнительное исследование.

Пример:

Исследовать на экстремум:

Решение:

Найдем частные производные заданной функции:

; . Единственной стационарной точкой является точка (Которая получена при решении системы и ).

Найдем частные производные второго порядка:

; ; Так как то точка не является точкой экстремума.