Объем тела вращения.

Определение: Если криволинейная трапеция ограничена линиями y=0; x=a; x=b; y=f(x), где f(x)0вращается вокруг оси OX, то полученное тело называется телом вращения вокруг оси OX.

Как известно, объем тела выражается через площадь поперечного сечения по формуле: . В данном случае поперечными сечениями являются круги радиусом R_кр=f(x); S_кр=S(x) = f²(x) V_OX= .

Если фигура, ограниченная кривыми y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x) [0 ] и прямыми x=a, x=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Если криволинейная трапеция ограниченная линиями вращается вокруг оси OY, то объем полученного тела вращения V_OY= .

Пример: Вычислить объем тела вращения, ограниченного линиями y=0; x=0; x=1; y=e^x.

Функции нескольких переменных.

Определение: Пусть задано множество упорядоченных наборов чисел , принадлежащее некоторой n-мерной области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждому набору чисел единственное значение называется функцией нескольких переменных , действующей из D в R (DR). При этом называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.

Функции 2 переменных, способы задания, область определения.

Определение: Пусть задано множество упорядоченных пар чисел (x;y), принадлежащее плоской области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждой паре чисел единственное значение называется функцией двух переменных , действующей из D в R (DR). При этом x и y называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной.

Множество называется областью определения функции; множество значений, принимаемых z в области определения называется областью значений функции, обозначается E или .

Определение: Графиком функции называется множество точек пространства с координатами (x,y,f(x,y)),таких, что (x,y)D(z)-область определения функции. Для функции двух переменных графиком является некоторая поверхность.

Частные производные функций 2 переменных и их геометрический смысл.

Пусть функция определена в окрестности точки M(x,y) и в самой точке М. Дадим переменной x приращение x (xx+x), а переменную y оставим без изменения (yy)так, чтобы точка M₁(x+x; y)указанной окрестности, тогда функция получит приращение _xz по переменной x: .

Определение: Если существует предел при x0 отношения приращения функции к приращению аргумента, то он называется частной производной функции z по переменной x и обозначается : .

Определение: Если существует предел при отношения приращения функции к приращению аргумента, то он называется частной производной функции z по переменной y и обозначается : .

При вычислении частных производных все переменные, кроме одной (по которой берется производная) считаются константами. Берем функцию двух переменных, частное по x, y – константа.

, y-const., x-const или y,z,t-const., x,y,t-const..

Пример:

Вычислить частные производные функции двух переменных.

;

Решение:

(y-const);

(x-const).

Дифференцирование сложной функции.

Пусть функция z=f(x,y) – функция двух переменных, x и y, каждая из которых является функцией независимой переменной t, В этом случае функция z=f(x(t),y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные x и y – промежуточные переменные.

Теорема:

Если z=f(x,y) – дифференцируемая в точке функция и и — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z=f(x(t),y(t)) вычисляется по формуле:

Общий случай: z=f(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v) то есть z=f(x(u,v),y(u,v)) – сложная функция независимых переменных u и v, частные производные которой находятся по формулам:

Таким образом, производная сложной функции z по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции по ее промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной.

Пример:

Найти и , если и , .

Решение:

Найдем .

.

Упростим правую часть выражения:

, то есть

Найдем .

Упростим правую часть выражения:

, то есть .