Теорема о существовании определенного интеграла.

Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует определенный интеграл .

Замечание:

1. Определенный интеграл является числом.

2. Определенный интеграл зависит от a, от b, от f(x) и не зависит от переменной интегрирования.

.

Свойства определенного интеграла.

1	f(x)и g(x)-непрерывны на [a,b]
2	, k-const
3
4
5
6
7	Если f(x) и a≤b, то
8	, где m – наименьшее, M – наибольшее значение f(x) на [a;b]
9	Существует точка С [a,b] такая, что (f(x)-непрерывна)

Формула Ньютона-Лейбница.

,

где F(x)-одна из первообразных f(x).

Пример:

_.

Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле.

Интегрирование по частям.

Пусть u и v – дифференцируемые функции от х.

Тогда . Интегрируя обе части тождества в пределах от а до в, получим:

.

Пример: = = =1.

Интегрирование с заменой переменной.

Теорема.

Пусть дан интеграл , где функция f(x) непрерывна на [a,b]. Введем новое переменное формуле x= .

Если 1)

2) и непрерывны на отрезке [t₁,t₂],

3) определена и непрерывна на отрезке [t₁,t₂], то , где , .

Замечание: При замене переменной в определённом интеграле нужно поменять пределы интегрирования, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

Пример:

= = = = = .

Вычисление площади плоских фигур в декартовой системе координат.

Р ассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную прямыми

x=a, x=b, y=0 и кривой y=f(x), где f(x)  0.

_{Как известно, площадь такой криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл:} S =

П ример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e^2x, x=0, x=2, y=0

S= = = .

Замечание: Иногда криволинейную трапецию приходится разбивать на несколько частей. Площадь всей трапеции есть сумма площадей всех частей.

П ример: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x, xy=1(y=1/x), x=0, x=2, y=0.

Разобьем трапецию на две части S₁ и S₂.

Площадь всей трапеции: S=S₁+S₂= = = = .

В общем случае площадь фигуры, ограниченной слева прямой x=a, справа прямой x=b, сверху кривой y=f₂(x),снизу кривой y=f₁(x), причем f₂(x) f₁(x).

В этом случае, неважно, где лежит криволинейная трапеция, выше оси OX или ниже, или часть выше, часть ниже. Самое главное, чтобы выполнялось f₂(x) f₁(x).

Полярная система координат.

Р ассмотрим на плоскости точкуО, которую называют полюсом, и луч, выходящий из этой точки, который называется полярной осью.

Зададим на полярной оси масштаб. Каждой точке M поставим в соответствие два числа  - длина радиус-вектора и  - угол между радиус-вектором точки M и положительным направлением полярной оси.

Таким образом, любая точка в полярной системе координат будет иметь две координаты M(,),  – полярный радиус,  – полярный угол. Очевидно, что  – величина неотрицательная (как длина любого вектора), а угол может выбираться по договоренности (для однозначности определения координат) из промежутков или .

Если угол  откладывается от полярной оси против хода часовой стрелки, то его будем считать положительным, если по часовой стрелке, то отрицательным.