Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, границей которой является кривая L, тогда по первой теореме Вейерштрасса функция ограничена в замкнутой области, а по второй - достигает в области своего наибольшего и наименьшего значения. Эти значения могут быть среди точек экстремума, принадлежащих области и на границе области D.
Производная по направлению и градиент.
Рассмотрим функцию в некоторой области D.
Пусть
точка M0(x0,
y0)D.
Рассмотрим вектор
с началом в точке M0.
Направление вектора задают две
направляющих косинуса:
и
- это направляющие вектора
.
Причем cos2+cos2=1,
- это единичный вектор направляющие l
имеет координаты l0(cos
,
cos
).
Дадим вдоль вектора l
приращение l
(x0,
y0).
Функция получит полное приращение.
,
разделим
на
и
перейдём к пределу
.
Определение:
Производной
f(x,y)
по направлению
l
в точке M0
называют
число
так как
,
.
Если
дана функция трех переменных u=u(x,y,z),
точка M0(x0,y0,z0),
l
={x,y,z}.
Тогда производная по направлению имеет
вид
,
где направляющие cos:
,
,
.
Определение: Градиентом функции u=u(x,y,z) в точке M0 называют вектор, имеющий своими координатами значение частных производных функции в точке M0.
Обозначается:
=
Вывод: градиент функции показывает направление наискорейшего возрастания функции в точке.
Пример: Вычислить: производную по направлению, градиент функции и длину градиента.
,
M0(1,
1, 1), l={1,
2, -2}.
Решение:
;
;
