Теоремы о дифференцируемых функциях.
Теорема Ферма.
П
усть
функция
определена и дифференцируема
на
интервале (a;b) и в некоторой точке x0
этого
интервала принимает наибольшее или
наименьшее значение. Тогда
.
Геометрический смысл теоремы Ферма:
Так
как
,
то угловой коэффициент касательной
равен нулю
касательная параллельна оси ОХ.
Теорема Ролля.
Пусть
функция
определена и непрерывна на отрезке
[a;b] и дифференцируема на интервале
(a;b), причем на концах интервала принимает
одинаковые значения
.
Тогда существует точка с(a;b),
значения производной в которой равно
0, т.е.
.
Геометрический смысл теоремы Ролля:
Þ Ккас=0 Þ касательная
в точке c параллельна оси ОX.
Теорема Лагранжа.
Пусть
функция
определена и непрерывна на отрезке
[a;b] и дифференцируема на интервале
(a;b). Тогда существует точка c(a;b),
значение производной в которой равно
.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа:
.
Существует точка cÎ(a;b), в которой угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту хорды, соединяющей граничные точки:
.
Найдется такая точка на графике, касательная в которой параллельна хорде, стягивающей концы отрезка [a;b].
Теорема Коши.
Пусть
функции f(x) и g(x) определены и непрерывны
на отрезке [a;b] и дифференцируемы на
интервале (a;b), причем производная функции
g(x) отлична от нуля, g(x)0.
Тогда существует такая точка c(a;b),
для которой выполняется равенство:
.
Правило Лопиталя.
Теорема.
Пусть
функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы
в некоторой окрестности точки x0,
за исключением может быть самой точки
x0,
и
,
.
Тогда если существует предел отношения
производных функций
,
то существует предел отношения самих
функций
,
причем они равны между собой, т.е.
.
В дальнейшем это утверждение будем также называть правилом Лопиталя
Замечание.
На практике при раскрытии неопределенности
типа
можно пользоваться правилом Лопиталя
и в случаях, когда x,
x.
Для
раскрытия неопределенностей типа
существует аналог правила Лопиталя.
Замечание 1. Правилом Лопиталя можно пользоваться при раскрытии неопределенностей вида (-), (0), (1), (¥0), (00), сводя их к неопределенностям типа , .
Замечание 2. Если после применения правила Лопиталя опять получаем неопределенность вида или , то его можно применить повторно.
Пример: Вычислить пределы по правилу Лопиталя.
1. Чтобы применять правило Лопиталя при неопределенности вида или , нужно продифференцировать отдельно числитель и знаменатель дроби, и вычислить полученный предел.
.
.
Вывод: показательная функция (y=an) всегда растет быстрее, чем степенная (у=xn).
.
Вывод: логарифмическая функция (y=logax) растет медленнее, чем степенная.
2. Неопределенность вида (0) нужно преобразовать в неопределенность вида или , опустив один из множителей в знаменатель в отрицательной степени, и потом применять правило Лопиталя.
3. При показательной неопределенности: (00), (1), (0); прежде чем применять правило Лопиталя, нужно прологарифмировать этот предел по основанию e.
.
=
=
=(0×¥)=
=
=
=
=
=0;
A=e0=1.
Формулы Тейлора и Маклорена.
Теорема.
Пусть функция
n раз дифференцируема в окрестности
точки x0.
Тогда в этой окрестности для функции
справедлива следующая формула Тейлора:
+
+
.
Здесь
некоторая точка, заключенная между
и
(
),
зависящая от
,
а
=
-
остаточный член в форме Лагранжа.
Если x0=0, то формула Тейлора превращается в формулу Маклорена:
+
Признаки монотонности функции.
Пусть
функция
определена и непрерывна на промежутке
(a;b).
Определение:
Функция
называется неубывающей
(невозрастающей)
на (a;b), если для любых x1<x2,
принадлежащих (a;b), выполняется
(
).
Определение:
Функция
называется возрастающей
(убывающей)
на (a;b), если для любых x1<x2,
принадлежащих (a;b), выполняется
(
).
Теорема 1.
Для
того чтобы функция
,
дифференцируемая на (a;b), была возрастающей,
необходимо, чтобы производная на этом
промежутке была неотрицательна, т.е.
,
и достаточно, чтобы
.
Теорема 2.
Для
того чтобы функция
,
дифференцируемая на (a;b), была убывающей,
необходимо, чтобы производная на этом
промежутке
и достаточно, чтобы
.
Пример:
Найти интервалы возрастания и убывания
функции
.
.
.
.