Приложения определенного интеграла
Пример
1.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями
Решение: Построим чертеж к задаче (рис. 3).
Найдем
точки пересечения кривых. Для этого
решим систему уравнений:
.
Отсюда
Площадь
фигуры вычислим по формуле
.
Рис.1
(кв.ед.)
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=e2x, x=0, x=2, y=0.
Рис.2
Решение:
Построим
чертеж к задаче (рис.2). Площадь криволинейной
трапеции вычислим по формуле
(кв.ед.).
Пример
3. Найти
площадь фигуры ограниченной линиями
и
.
Решение: На рис. 4 представлена фигура площадь которой требуется найти.
Н
айдем
точки пересечения параболы и прямой
для этого решим следующую систему
уравнений:
При
решении квадратного уравнения системы
,
получаем два корня х1=-2,
х2=1.
Рис. 4.
Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас
интересуют только абсциссы точек пересечения.
f1(x)= x2+1, f2(x)=3-x (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).
Теперь
можно вычислить площадь фигуры:
=
=
=
Пример
4.
Вычислить площадь, ограниченную параболой
и прямыми
и
.
Решение.
Выполним чертеж. Графиком
является парабола, ветви которой
направлены вниз (знак “-“ перед
)
и приподняты на 2 единицы (рис. 1). Искомая
площадь симметрична относительно оси
,
следовательно, можно вычислить половину
площади и удвоить результат, т.е.
.
y
2
1
x
Рис. 1
Для вычисления пределов интегрирования решим совместное уравнение параболы и прямой :
,
согласно формуле, получим:
; 
(кв. ед.).
Пример
6.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линией
Решение:
Так как
определяет расстояние до соответствующей
точки,
то
.
Следовательно, область определения
функции определяется
неравенством
.Общее
решение этого неравенства имеет вид
где
.
Отсюда
.
Так как в полярной системе координат
выполняются ограничения на область
изменения
,
то область допустимых значений функции
в полярной системе координат состоит
из двух промежутков, описывающихся
соответствующими неравенствами:
Выбрав
несколько значений
из указанных промежутков, построим
график функции (рис.3)
Рис.3
В
силу симметричности фигуры вычислим
площади, где полярный угол
.
Итак,
Следовательно,
площадь всей фигуры
(кв.ед.).
Пример 7 . Вычислить площадь, ограниченную линией
,
.
Решение. В данной задаче чертеж выполнять необязательно, т. к. задано изменение параметра . Уравнение линии рассматривается в декартовых координатах, но имеет параметрический вид. Воспользуемся формулой
.
Пример
8.
Вычислить площадь, ограниченную линией
.
Решение.
Так
как уравнение линии, ограничивающей
искомую площадь, задано в полярных
координатах, то необходимо воспользоваться
формулой для полярных координат. Пределы
интегрирования не заданы, поэтому
необходимо сделать чертеж (рис. 2). Линию
построим по точкам, давая
значения через равный промежуток,
например,
,
начиная от
до
.
Вычислим
искомой площади.
Рис. 2
(кв.
ед.).
Пример
9.
Найти длину линии
от точки
до
точки
.
Решение:
Линия
задается явно в декартовой системе
координат. Очевидно, что
.
Так
как на рассматриваемом промежутке
,
то
=
=
=
=
=
=
(ед.).
Отметим, что при вычислении интеграла мы воспользовались заменой:
Пример
10 .
Найти
длину дуги
,
отсеченную прямой
.
Решение. Уравнение линий задано в декартовых координатах.
y Воспользуемся
формулой 
.
Из чертежа видно, что
4
x пределы
интегрирования
будут
и
(рис.
3).
Рис.
3 
.
(кв.
ед.).
Пример
11. Найти
длину кривой
.
Решение: Кривая задана параметрически. Легко видеть, что
=
=
=
=
=
=
=
.
Так
как на промежутке
выполняется равенство
=
,
то
=
=
(ед.).
Пример 12. Криволинейная трапеция, ограниченная координатными
осями,
прямой
и кривой
вращается вокруг: а) оси абсцисс;
б) оси ординат. Найти объем полученных тел вращения.
Решение: а) Ясно, что
.
б) На рис.4 изображено тело, объем которого мы будем находить.
Так
как
,
то
изменяется в интервале
.
Кроме того, надо явно выразить x
через
y
. Так как
,
то отсюда
.
Тогда
Вычисление интегралов производилось с помощью формулы интегрирования по частям. В первом случае мы полагали
,
а во втором случае
.
Рис.4
Пример
13.
Вычислить
объем тела, образованного вращением
вокруг оси
фигуры, ограниченной параболой
и осью
(рис. 5).
Решение.
Парабола
расположена ветвями вниз, вершина
находится в точке
,
и ось
пересекает в точках
.
Для решения воспользуемся формулой 
(куб.
ед.).
y
1
1
x
Рис. 5
Пример
16.
Вычислить объем тела, образованного
вращением гиперболы
,
отсеченной прямыми
,
вокруг оси
(рис. 6).
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой
y
; 
,
находим из уравнения гиперболы:
-3
3
x 
Рис.
6 
(куб. ед.).
Замечание: Иногда при решении задач полезно использовать рекуррентную формулу:
Знак
(двойной факториал) означает произведение
целых чисел, начиная с
,
через одно с убыванием. Например,
(только нечетные множители).
Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку.
Пример
1.
;
этот предел не существует; следовательно,
исследуемый интеграл расходится.
Пример
2.
.
;
следовательно, интеграл сходится и
равен
.
Пример
3.
.
Интеграл сходится.
Пример
4..
следовательно,
интеграл сходится и равен
.
Пример 5.. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.
Пример 6. следовательно, интеграл сходится и равен
Пример 7. . Интеграл сходится.
Пример 8.
следовательно, интеграл сходится и равен .
Пример
9.
- интеграл сходится;
Пример
10.
- интеграл расходится.
Пример
11.
;
при замене переменной несобственный
интеграл может преобразовываться в
собственный. Так, например, вычислим
интеграл:
.
Пусть
,
;
если
,
то
;
если
то
;
Поэтому
(это уже собственный интеграл)