Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

КонтрРаб_МетодУказ_Матем_1зо.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

2.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

2. Задания контрольной работы №2

Формулировка условий заданий

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
Найти производную функций.
Исследовать функцию f(x) и построить график.
Найти частные производные первого порядка функции Z = f(x, y) двух независимых переменных х, y.
Найти неопределенные интегралы.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и g(x).
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию.
Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
Исследовать ряд на сходимость.
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Вариант 0

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 1

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 2

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 3

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 4

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 5

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 6

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 7

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 8

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

Вариант 9

1. а) б)

2. а) б)

3. 4.

5. а) б)

9. 10.

3. Методические рекомендации к выполнению контрольной работы №2

Для выполнения заданий необходимо, прежде всего, изучить методическую разработку автора из п.5 – методическое обеспечение.

Далее рекомендуется просматривать соответствующие разделы из любого пособия под редакцией Кремера Н.Ш. (электронные варианты пособий представлены в локальной сети филиала (на PABе: в материалах для студентов, в папке с фамилией лектора).

Печатные издания литературы, представленные в п.4, имеются в библиотеке филиала и могут быть использованы для решения задач.

Приведем решения некоторых задач типового варианта контрольной работы №2.

Задание 1. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя

а)

Анализ

Так как для данных дробей степень числителя больше степени знаменателя, то

Получаем неопределенность

Следовательно, теоремой о пределе разности воспользоваться нельзя. Необходимо провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение

Приведем выражение под знаком предела к общему знаменателю:

Значение дроби не изменяется, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же ненулевое выражение. Разделим на .

Следовательно,

Ответ: 3

б)

Анализ

Непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможно, поскольку

Рассматриваемый предел представляет собой неопределенность вида , надо освободиться от этой неопределенности. Для этого требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение

Если – корни квадратного трёхчлена то

Найдём корни квадратного уравнения

где - дискриминант,

Отсюда,

Аналогично,

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

Использовали непрерывность функции

в точке т.е.

Ответ: 10

Задание 2. Найти производную функций

а)

Решение

Задана сложная функция , где .

Найдем , применяя правило:

Ответ:

б)

Анализ

Функция представляет собой произведение трех функций

Решение

Ответ:

Задание 3. Исследовать функцию и построить график

а)

Решение

Данная функция – многочлен третьей степени. Она определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом,
Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку

т.е.

3) Заметим, что при и при , поведение многочлена y(x) определяется поведением его старшего члена , который неограниченно возрастает при и неограниченно убывает при . Поэтому ,

Функция определена на всей числовой оси, график функции не имеет вертикальных асимптот.

, график функции не имеет наклонной и горизонтальной асимптот вида

Множество значений функции

4) Следовательно - точка пересечения графика с осью

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение^¹

; ; ; - точки пересечения графика функции с осью

Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого находим производную функции

, критические точки . Так как производная определена при любых действительных значениях , других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

	(-∞; -4)	-4	(-4; -1)	-1	(-1; +∞)
	+	0	-	0	+
		1,6		- 1,1
Выводы	возрастает	максимум	убывает	минимум	возрастает

Итак, функция возрастает при и при и убывает при

Локальный минимум

Локальный максимум

6) Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз.

Для этого, прежде всего, находим производную второго порядка и решаем уравнение

Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков

;


	-	0	+
		0,25
Выводы	выпуклый график	перегиб	вогнутый график

Строим график функции. Можно найти значение функции в некоторых дополнительных точках области определения функции.

Рисунок 1 – График функции

Задание 4. Найти частные производные первого порядка функции

Решение

Частная производная по x обозначается или , в этом случае х – является переменной, а y – играет роль постоянной.

Частная производная по y обозначается или , в этом случае y является переменной, а х – постоянной

Ответ:

Задание 5. Найти неопределенные интегралы

а)

Решение

Преобразуем подынтегральную функцию

Применим вначале метод замены переменной:

(*)

– неправильная рациональная дробь

Выделим целую часть, для этого выполним следующие преобразования:

Использовали формулы таблицы интегралов:

Ответ:

б)

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:

Примем за

Найдем дифференциал функции u:

По dv найдем функцию v:

(одна из первообразных; постоянную «с» не прибавляем)

Итак, Полученный интеграл найдем, применяя метод замены переменной (формула (*))

Применили формулу таблицы основных интегралов

Итак,

Ответ:

Задание 6. Вычислить площадь фигуры ограниченной графиками функций и

Решение

Изобразим фигуру, площадь которой надо найти, на координатной плоскости. Графиком функции g(x) является парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем производную функции . Находим координаты вершины параболы С:

Точки пересечения параболы с осями координат:

С осью ох:

;

C осью оу: х=0;

Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам с координатами

Рисунок 2 – К задаче №6

Найдем точки пересечения графиков функций

;

Площадь S фигуры ABC, ограниченной графиками функций, находим по формуле .

Где для всех

Так как при , то

Ответ

Задание 7. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию:

Решение

Разделим обе части уравнения на

- линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, общий вид которого

Общее решение данного уравнения найдем в виде – неизвестные дифференцируемые функции которые надо найти.

2) , получаем уравнение:

; (*)

3) Найдем какую-нибудь функцию u, для которой выполняется равенство - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, разделим переменные

Найдем неопределенные интегралы от обеих частей равенства:

, так как

, полагаем с=0 (так как надо найти одну из функций u). Следовательно

4) Подставим в уравнение

; ; - разделим переменные

, интегрируем обе части равенства:

Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

.Итак,

5) Для отыскания частного решения необходимо и достаточно определить значения постоянной с по начальному условию, данному в задании.

при , получаем равенство

, так как , то .

Следовательно,

Ответ:

Задание 8. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка , удовлетворяющее начальным условиям

Решение

Составим характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициента вида (ЛОДУ):

Характеристическое уравнение:

Характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни.

- мнимая единица

Общее решение ЛОДУ:

2) Так как правая часть данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ) имеет вид – многочлен второй степени, е^ах показательная функция отсутствует, то есть а=0 – не является корнем характеристического уравнения, составленного выше, то частное решение ЛНДУ будем искать в виде многочлена второй степени с неизвестными коэффициентами: