24. Распространение вероятностей в эс на основе правила Байеса. Последовательное распространение вероятностей.

Теорема Байеса, Формула Байеса — одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Названа в честь ее автора, преп. Томаса Байеса (посвященная ей работа «An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances» впервые опубликована в 1763 году,[1] через 2 года после смерти автора). Полученную по формуле вероятность можно далее уточнять, принимая во внимание данные новых наблюдений.

Формула Байеса:

,

где

• — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

• — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

• — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

• — полная вероятность наступления события B.

«Физический смысл» и терминология

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.

События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии)

Следствие

Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).

— вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);

Последовательное распространение вероятностей

Однако реально, распространение вероятностей происходит поэтапно с суммированием отдельных свидетельств и их влияния на условную вероятность по мере поступления отдельных Ei. Это можно сделать, используя априорные и апостериорные вероятности, следующим образом:

Задаём - априорную вероятность событий .

Для полученных свидетельств записываем .

С учётом теоремы Байеса подсчитываем в зависимости от исхода , то есть вычисляем апостериорную вероятность события .

Теперь можно не обращать внимания на все наступившие и переобозначить текущую апостериорную вероятность события , как новую априорную вероятность . Итак, пусть равна в зависимости от значения .

Затем выберем новое свидетельство для рассмотрения и перейдём к п.2.

Проиллюстрируем эту последовательность на приведенном выше примере в предположении, что сначала поступило свидетельство . Тогда:

Полученные вероятности можно принять за новые апостериорные вероятности гипотез , то есть:

И если теперь дополнительно поступит свидетельство , то новые апостериорные вероятности гипотез могут быть вычислены только на основе вновь поступившего свидетельства:

Из приведенного примера видно, что итерационная процедура последовательного распределения вероятностей по мере поступления свидетельств позволяет получить результаты аналогичные непосредственному применению правила Байеса для случая одновременного двух поступивших свидетельств.