22. Элементы теории вероятностей: условная вероятность, совместная вероятность, теорема Байеса.
Пусть А – некоторое событие (А принадлежит Ω)
Пусть В – некоторое событие (В принадлежит Ω)
Вероятность того что произойдет А при условии что произошло В запишется в след. Виде:
Р(А/В) – условная вероятность события А при заданном событии В.
Вероятность того что оба события А и В произойдут называется совместной вероятностью.
Между совместной и условной вероятностями существует связь:
Р(А/В) = р(А˄В) / р(В) если р(В) ≠ 0
Аналогично условная вероятность события В при условии А рассчитывается по формуле
Р(В/А) = р(В˄А) / р(А) => р(В˄А) = р(А)*р(В/А)=р(А˄В) совместная вероятность коммутативна.
Правило Байеса
Р(А/В) = р(В/А)*р(А) / р(В)
Особенность – числа в правой части получить проще чем в левой.
Для независимых
Р(А/В) = р(А)
Если А и В – непересекающиеся множества, то объединение множеств соответствует сумме вероятностей: р(А˅В) = р(А)+р(В);
Пересечение: р(А˄В) = р(А)*р(В);
Без предположения вероятности добавляем новый член включения и исключения:
р(А˅В) = р(А)+р(В)-р(А)*р(В);
В = (В˄А) ˅ (В˄Ā) – это явно непересекающееся объединение
Вероятность В: р(В)=р(В˄А)˅р(В˄Ā)=р(А)*р(В)+р(Ā)*р(В) р(В)=р(В+А)*р(А) + р(В/Ā)*р(Ā)
Подставим в формулу байеса и получим теорему байеса
Р(А/В) = р(В/А)*р(А) / [р(В/А)*р(А) + р(В/Ā)*р(Ā)]
Равенство является основной для использования теоремой вероятности в управлении неопределенности Оно обесп. Путь для обесп. Условной вероятности А при условии В. Это соотношение
позволяет ЭС управлять неопределенностями и делать выводы в прямом и обратном направлении.
23. Логический вывод в байесовской эс (априорная вероятность, апостериорная вероятность).
Байесовские рассуждения основаны на формальной теории вероятностей и интенсивно используются в некоторых современных областях исследований, включая распознавание образов и классификацию. Теория Байеса обеспечивает вычисление сложных вероятностей на основе случайной выборки событий. В математической теории вероятностей отдельные вероятности вычисляются либо аналитически комбинаторными методами, либо эмпирически. Если известно, что А и В независимы, вероятность их комбинации вычисляется по следующему правилу:
вероятность(А&В) = вероятность(А) * вероятность(В)
Априорная вероятность - это вероятность, присвоенная событию при отсутствии знания, поддерживающего его наступление. Следовательно, это вероятность события, предшествующего какой-либо основе. Априорная вероятность события обозначается Р(событие).
Апостериорная вероятность - это вероятность события при некотором заданном основании. Апостериорная вероятность обозначается Р(событие| основание).
Важной особенностью теоремы Байеса является то, что числа в правой части уравнения получить легче, чем значение в его левой части. Например, вследствие меньшей популяции намного легче определить число больных менингитом, имеющих головные боли, чем процент больных менингитом из общего числа страдающих головной болью. Более важной особенностью теоремы Байеса является то, что для простого случая одной болезни и одного симптома в вычислениях участвует не очень много чисел. Трудности начинаются, когда мы рассматриваем комплексные заболевания dm из области заболеваний D и комплексные симптомы sn из множества возможных симптомов S.
формула Байеса:
,где
P(A) — априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);
P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);
P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;
P(B) — вероятность наступления события B.
Важным следствием формулы Байеса является формула полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез
— вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез Ai, если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);