Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга» 2016-2017 учебный год

Кафедра математики и физики КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине «Математические модели сплошных сред» Тема: Волны Россби

Выполнила студентка физико-математического факультета направления подготовки «Прикладная математика и информатика» очной формы обучения 4 курса, группы ПМб-13 Новикова Елизавета Романовна Научный руководитель доцент кафедры математики и физики, кандидат физико-математических наук, доцент Водинчар Глеб Михайлович

Петропавловск-Камчатский 2016

Оглавление

Введение 3

1 Волны Россби 5

1.1 Условия существования и природа 5

1.2 Дисперсия 6

1.3 Нелинейность волн Россби: скалярная и векторная 8

1.4 Проявления волн Россби на земле 11

1.5 Аналогия с дрейфовыми волнами в плазме 13

2 Солитоны Россби 15

2.1 Уединенная волна Россби как результат равновесия между дисперсией и нелинейностью 15

2.2 Дипольные солитоны Россби 17

2.3 Вопросы устойчивости и стационарности структур 18

3 Монопольные (одиночные) солитоны Россби. Теоритическая солитонная модель Большого Красного Пятна Юпитера (БКПЮ) 20

3.1 Экспериментальная солитонная модель БКПЮ 24

3.2 Почему вихрь «БКПЮ» уникален на всем периметре планеты? 25

3.3 О трехмерной солитонной модели БКПЮ 29

Заключение 33

Список литературы 34

Введение

Волны Россби являются, с одной стороны, вихрями, а с другой стороны — уединенными волнами, или солитонами. Их вихревые свойства обусловлены силой Кориолиса, связанной с глобальным вращением их «среды обитания», а солитонные свойства — равновесием между дисперсией и нелинейностью. Эти дуалистические структуры можно называть как вихревыми солитонами, так и волновыми вихрями. С волновой точки зрения, они принадлежат к ветви дрейфовых волн Россби, существующих в океанах и атмосферах планет; частоты этих волн малы по сравнению с частотой глобального вращения планеты, а длины волн могут иметь планетарный масштаб — они весьма велики по сравнению с глубиной океана или атмосферы. При большой амплитуде эти волны превращаются в планетарные вихри. Наиболее крупный из них носит название «Большое Красное Пятно Юпитера» (БКПЮ). Этот атмосферный вихрь, по размерам значительно превосходящий нашу Землю, наблюдается уже в течение трех столетий. По-видимому, ту же природу имеют синоптические вихри в земных океанах, а также стоячие планетарные вихри (так называемые блокинги), возможно, ответственные за длительные засухи на Земле. По отношению к столь длинным структурам атмосфера или океан являются квазидвумерными средами и могут рассматриваться как «мелкая вода». Этим, а также сравнительно медленным вращением, они принципиально отличаются от смерчей, которым, напротив, свойственно быстрое собственное вращение по сравнению с частотой глобального вращения планеты.

Планетарные волны (вихри) носят имя шведского геофизика Россби, показавшего их важную роль в процессах глобальной циркуляции атмосферы. Волны Россби физически аналогичны дрейфовым волнам в пространственно неоднородной замагниченной плазме.

Солитоны Россби — это уединенные планетарные волны, или нерасплывающиеся нелинейные пакеты волн Россби, в которых дисперсионное расплывание (свойственное линейному волновому пакету) уравновешивается нелинейным самосжатием, и волна распространяется без изменения своей формы. Иногда термин «солитон» применяется только к такой уединенной волне, которая выходит неизменной из столкновения с себе подобной.

1 Волны Россби

1. Условия существования и природа

Волны Россби возникают в атмосфере или океане вращающейся планеты и отличаются низкими частотами ( ) и большими длинами волн ( ), а именно, и (условие «мелкой воды»), где — угловая частота вращения планеты, Н — эффективная глубина ее атмосферы (океана). Условия существования этих волн легко пояснить с помощью уравнения Эйлера:

(1)

Поскольку и , то первые два слагаемых в левой части (1) малы по сравнению с третьим, и (1) приобретает вид уравнения геострофического равновесия:

(2)

— сила Кориолиса уравновешивается градиентом гидростатического давления , где — плотность среды и — ускорение равнодействующей силы тяжести и центробежной силы от глобального вращения. Отношение центробежной силы от вращения частицы в волне к силе Кориолиса называется числом Россби — Кибеля, Ro. В рассматриваемом режиме (он называется режимом Россби)

(3)

Таким образом, в условиях существования волн Россби решающую роль играет сила Кориолиса. Волны Россби возникают вследствие пространственной неоднородности этой силы, связанной с зависимостью локальной вертикальной компоненты вектора угловой скорости вращения системы от широты ( ), а именно, , где . Волны Россби распространяются на запад, против глобального вращения планеты. Это распространение представляет собой дрейф, происходящий перпендикулярно как направлению вектора угловой скорости вращения планеты , так и направлению градиента параметра Кориолиса

(4)

Механизм этого дрейфа, по существу, аналогичен механизму дрейфа заряженных частиц в неоднородном магнитном поле, «скрещенном» с собственным градиентом [1, 2].