1. Математический анализ

1. Найти предел .

2. Найти предел .

3. Исследовать функцию на непрерывность .

Знаменатель функции обращается в ноль при х=3. Исследуем ф-ю на непрерывность в этой точке:

В точке х=3 функция терпит неустранимый разрыв второго рода

4. Найти производную функции .

5. Найти частные производные второго порядка по всем переменным функции

.

6. Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости её графика .

Найдем точки подозрительные на экстремум:

y(х) возрастает при х (-∞;1/3) (3;∞) , убывает при х (1/3; 3)

Найдем точки перегиба:

y (x) вогнута при х (5/3 ; ) , выпукла при х (-∞; 5/3)

х=5/3 точка перегиба

7. Найти интеграл .

8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Ответ:

9 . Вычислить интеграл , где D - область, ограниченная прямыми , , .

Ответ:

10. Вычислить криволинейный интеграл , где L - дуга параболы от точки (0;0) до точки (1;1).

11. Исследовать ряд на сходимость .

следовательно ряд сходится

Ответ: сходится

12. Найти область сходимости ряда .

Воспользуемся признаком сходимости Даламбера:

Требуем, чтобы , следовательно

Исследуем сходимость на границах интервала:

Ответ:

13. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость .

Проверим выполнение признака Лейбница:

Следовательно ряд сходится условно, исследуем абсолютную сходимость:

ряд расходится как обобщенный гармонический с k=1/2 <1

следовательно абсолютная сходимость не выполняется

Ответ: сходится условно

1. Комплексный анализ

14. Вычислить , явно выделив действительную и мнимую части.

15. Разложить в ряд Лорана функцию

Точка z=0 является особой точкой функции, других особых точек функция не имеет. Ряд Лорана для данной функции будет только один и сходиться он будет в области |z|>0.

В известном разложении заменяем z на –1/z² и получаем

1. Дискретная математика

_{21. Найти СКНФ булевой функции}

_{Составим таблицу истинности функции:}

x	y	z
0 0 0 0 1 1 1 1	0 0 1 1 0 0 1 1	0 1 0 1 0 1 0 1	0 0 1 1 1 1 1 1	0 0 0 1 0 1 0 1	0 0 0 1 1 0 1 0

Для построения СКНФ по таблице истинности выбираются наборы, приводящие функцию в значение ноль. Переменная записывается с инверсией, если равна 1 в этом наборе.

СКНФ:

22. Докажите, что функция не является линейной?

Функция f(x₁,…,x_n) называется линейной, если существует a₀,a₁,…,a_n B такие, что

f(x₁,…,x_n)=a₀+a₁×x₁+…+a_n×x_n.

Тогда

x	y				следствие
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1	1 1 1 0		противоречие

Получили противоречие, значит функция нелинейна

23. Дана матрица смежности 6-вершинного графа.

Является ли он планарным?

Изобразим граф

По формуле Эйлера для плоского графа справедливо: |V(G)| – |E(G)| + |F(G)| = 2

Отсюда F(G)=2+11-6=7

Без петель F(G)=5 , E(G)=9

Любая грань (включая внешнюю) содержит четное число ребер – а значит , не менее 4. Поскольку каждое ребро включается в ровно две грани, получается .

Соотношение не выполняется, значит его нельзя расположить на плоскости, т.е. граф не является планарным