1). Теоремы об эквивалентности и сложении пар сил. (Сформулировать и показать любым способом).

2). Скорости и ускорения точек (линейные) вращающегося тела.

1.Две пары, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты, эквивалентны. Для доказательства рассмотрим две пары (⃗P,→P′) и (⃗F,→F′)(P→,P′→) и (F→,F′→), лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (Рис.1).

Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С'.На основании следствия из аксиомы 3 действие сил ⃗P и →P′P→ и P′→ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть (⃗P,→P′)∼(→P1,→P′1)(P→,P′→)∼(P1→,P1′→).Воспользовавшись аксиомой 4, заменим силу →P1P1→ составляющими ⃗S и ⃗TS→ и T→, направленными, соответственно, вдоль линии действия силы ⃗FF→, и по прямой СС'. Аналогично поступим с силой →Р1′Р1′→, заменив ее составляющими →S′ и →T′S′→ и T′→.По построению ⃗T=−→T′T→=−T′→, поэтому согласно аксиоме 2: (⃗T,→T′)∼0(T→,T′→)∼0 и в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.Таким образом,(⃗P,→P′)∼(→P1,→P′1)∼((⃗S,⃗T),(→S′,→T′))∼((⃗S,→S′),(⃗T,→T′))∼(⃗S,→S′)(P→,P′→)∼(P1→,P1′→)∼((S→,T→),(S′→,T′→))∼((S→,S′→),(T→,T′→))∼(S→,S′→),, то есть пары сил (⃗P,→P′) и (⃗S,→S′)(P→,P′→) и (S→,S′→) эквивалентны.Остается доказать эквивалентность пар $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'}). Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны, если будут равны их моменты.По условию теоремы моменты пар (⃗P,→P′) и (⃗F,→F′)(P→,P′→) и (F→,F′→) равны. Таким образом:M(⃗F,→F′)=M(⃗P,→P′)=M(→P1,→P′1)=MC(→P1)M(F→,F′→)=M(P→,P′→)=M(P1→,P1′→)=MC(P1→)В силу теоремы Вариньона:MC(→P1)=MC(⃗S)+MC(⃗T)=MC(⃗S)MC(P1→)=MC(S→)+MC(T→)=MC(S→), поскольку линия действия силы ⃗TT→ проходит через точку С и ее момент равен нулю. Итак:M(⃗F,→F′)=MC(⃗S)=M(⃗S,→S′)M(F→,F′→)=MC(S→)=M(S→,S′→), а значит пары (⃗S,→S′) и (⃗F,→F′)(S→,S′→) и (F→,F′→) будут эквивалентны.Таким образом: $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{S}, \vec{S'}) \sim (\vec{F}, \vec{F'}), и теорема доказана.Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также можно рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в «Пара сил и ее свойства».Следствия:Действие пары сил на ТТ не меняется при ее перемещении в своей плоскости.

Действие пары сил на ТТ не изменится, если одновременно изменить плечо и силы пары, сохранив неизменным ее момент.

Сложение пары сил

Сложение пар сил

Теорема 1. Две пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны одной паре с вектор-моментом, равным геометрической сумме вектор-моментов слагаемых пар.

Для доказательства рассмотрим две пары сил (→P1,→P2)(P1→,P2→) и (→F1,→F2)(F1→,F2→), лежащие в плоскостях П₁ и П₂ соответственно, которые пересекаются по прямой АВ.

Не уменьшая общности можно считать, что плечи этих пар равны отрезку АВ этой прямой. Пусть ⃗M(→P1,→P2)=→M1M→(P1→,P2→)=M1→ , а⃗M(→F1,→F2)=→M2M→(F1→,F2→)=M2→ (Рис.1) .

Рис.1

Воспользовавшись аксиомой параллелограмма, получим:

((→P1,→P2),(→F1,→F2))∼((→P1,→F1),(→P2,→F2))∼(→R1,→R2)((P1→,P2→),(F1→,F2→))∼((P1→,F1→),(P2→,F2→))∼(R1→,R2→)

При этом момент результирующей пары с учетом теоремы Вариньона будет равен:

⃗M(→R1,→R2)=→MA(→R1)=→MA(→P1)+→MA(→F1)=⃗M(→P1,→P2)+⃗M(→F1,→F2)=→M1+→M2M→(R1→,R2→)=MA→(R1→)=MA→(P1→)+MA→(F1→)=M→(P1→,P2→)+M→(F1→,F2→)=M1→+M2→

Теорема доказана.

Следствия:

1. Система n пар в пространстве эквивалентна одной паре с вектор-моментом, равным геометрической сумме вектор-моментов слагаемых пар:  ⃗M=i=n∑i=1→MiM→=∑i=1i=nMi→

2. Система n пар на плоскости эквивалентна одной паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов слагаемых пар:  M=i=n∑i=1Mi

2. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см. рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hdφ. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т.е

Скорость    в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости точки вращающегося твердого тела равно произведению угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела   имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

 

       

Рис.11                                    Рис. 12

 

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a_τ и a_n, получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения a_τ направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a_n всегда направлена по радиусу МС  к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда значения a_τ  и a_n, получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окружностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

 

                             

Рис.13                                                            Рис.14

 

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор   точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, модуль векторного произведения   равен модулю скорости точки М. Направления векторов   и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ) и размерности их одинаковы. Следовательно,   - формула Эйлера, т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

Билет №11.