Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме

Напишем теорему об изменении количества движения МТ, выделив внешние и внутренние силы

d(m_kv_k)/dt=F_k^(e)+F_k^(і)

где  F_k^(e)  и  F_k^(і) - равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на МТ.

Составим по аналогии эти выражения и для других МТ системы, сложим их левые и правые части, соответственно,

 ∑(d(m_kv_k)/dt)=∑F_k^(e)+∑F_k^(і)

Заметим, что

 ∑(d(m_kv_k)/dt)=d/dt(∑m_kv_k)=dQ/dt, ∑F_k^(і)=0

Следовательно,

 dQ/dt=∑F_k^(e)

Получена теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на систему.

Спроектируем соотношение на координатные оси

dQ_x/dt=∑F_kx^(e) 

dQ_y/dt=∑F_ky^(e) 

dQ_z/dt=∑F_kz^(e) 

то есть производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на систему.

Умножив обе части соотношения на dt, получим

 dQ=∑F_k^(e)dt

то есть дифференциал количества движения системы равен векторной сумме элементарных импульсов внешних сил, действующих на систему.

Теорема об изменении количества движения в конечно-разностной форме

В проекциях на координатные оси

  dQ_x=∑F_kx^(e)dt

 dQ_y=∑F_ky^(e)dt 

 dQ_z=∑F_kz^(e)dt 

Беря интеграл от обеих частей, имеем

 Q-Q₀=∑S_k^(e) 

Получена теорема об изменении количества движения механической системы в конечной форме: изменение количества движения системы за какой-то промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за то же время.

В проекциях на координатные оси аналогично

 Q_x-Q_0x=∑S_kx^(e) 

Q_y-Q_0y=∑S_ky^(e)  

Q_z-Q_0z=∑S_kz^(e)  

Отметим следующее.

1. Внутренние силы не входят в теорему об изменении количества движения системы и, следовательно, не влияют на его величину.

2. При некоторых условиях для внешних сил можно получить первые интегралы системы дифференциальных уравнений движения системы.

Кинетический момент вращающегося твердого тела Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость вращения тел

Kz=IzW

Билет №18.

1). Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Закон вращательного движения, угловая скорость и угловое ускорение тела.

2). Количество движения системы. Теорема об изменении количества движения системы.

Вращательное движение твёрдого тела вокруг осей. Закон вращательное движения, угловая скорость и угловое ускорение (тела).

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все времядвижения неподвижными

Закон вращательное движения

Это выражение представляет собой аналог второго закона Ньютона длявращательного движения, из которого следует, что угловое ускорение твердого тела при вращении вокруг неподвижной оси прямо пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции Относительно этой оси.

Угловой скоростью называют векторную величину, характеризующую быстроту вращения твердого тела, определяемую как приращение угла поворота тела за промежуток времени.

Угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твердого тела.

2). Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики^[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел