Билет №1.

1). Механика. Основные модели реальных тел, используемые в механике вообще и в теоретической механике в частности.

2). Теорема о сложении ускорений при сложном движении точки. (Теорема Кориолиса).

1). МЕХАНИКА.

Механика изучает движение тел в пространстве и во времени. Механическое движение, простейший вид движения в природе, изучается классической механикой, в которой рассматривается движение макроскопических тел со скоростями, во много раз меньшими скорости света в вакууме (с=3∙108 м/с). Релятивистская механика изучает движение тел со скоростями, близкими к скорости света в вакууме. Квантовая механика изучает закономерности движения микрочастиц (электронов в атомах, молекулах, кристаллах и др.).

Классическая механика делится на следующие разделы: кинематика, динамика, статика.

Кинематика изучает движения без учета причин, их вызывающих. Динамика изучает причины, вызывающие различные движения. Статика рассматривает условия равновесия тел.

Объекты, рассматриваемые в механике: физические - пространство и время, материальные - движущиеся и покоящиеся тела и особая форма материи - физические поля.

1. Механическое движение - изменение положения тела или отдельных его частей в пространстве с течением времени.

Внутреннее строение движущихся тел, их химический состав не влияет на механическое движение. Для описания движения реальных тел в зависимости от условий задачи пользуются различными моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело и т.д.

Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи. В дальнейшем вместо термина "материальная точка" будем употреблять термин "точка". Одно и то же тело можно свести к материальной точке в одной задаче, и необходимо учитывать его размеры в условиях другой задачи. Например, расчет движения самолета, летящего над Землей, можно производить, считая его материальной точкой. А при расчете обтекания воздухом крыла того же самолета надо учитывать форму и размеры крыла.

Любое протяженное тело можно рассматривать как систему материальных точек.

Абсолютно твердое тело (а. т. т.) - тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи. А.т.т. можно рассматривать как систему жестко связанных между собой материальных точек, т.к. расстояние между ними не изменяются при любых взаимодействиях.

Абсолютно упругое тело - тело, деформация которого подчиняется закону Гука (см. § 2.2.2.), и после прекращения силового воздействия оно полностью восстанавливает первоначальные размеры и форму.

Абсолютно неупругое тело - тело, которое после прекращения силового воздействия на него не восстанавливается, а полностью сохраняет деформированное состояние.

2. Для определения положения тела в пространстве и во времени надо ввести понятие системы отсчета. Выбор системы отсчета произволен.

Системой отсчета называется тело или группа тел, считающиеся условно неподвижными и снабженные устройством отсчета времени (часами, секундомером и т.д.), относительно которых рассматривается движение данного тела.

Неподвижное тело (или группу тел) называют телом отсчета и для удобства описания движения с ним связывают систему координат (декартову, полярную, цилиндрическую и т.д.

Выберем в качестве системы координат декартову прямоугольную систему XYZ (подробно см. [8]). Положение точки С в пространстве можно определить координатами х,y,z (Рисунок 1).

Р исунок 1 - Определение положения точки в декартовой системе координат.

Однако положение той же точки в пространстве можно задать с помощью одной векторной величины r= r(x,y,z), называемой радиус-вектором точки С (Рисунок 1).

3. Линия, которую тело описывает при своем движении, называется траекторией. По виду траектории движения можно разделить на прямолинейные и криволинейные. Траектория зависит от выбора системы отсчета. Так, траектория движения точек винта самолета относительно летчика - окружность, а относительно Земли - винтовая линия. Другой пример: какова траектория движения кончика иглы проигрывателя относительно пластинки? корпуса проигрывателя? корпуса звукоснимателя? Ответы таковы: спираль, дуга окружности, состояние покоя (игла неподвижна).

2) Си́ла Кориоли́са — одна из сил инерции, использующаяся при рассмотрении движения материальной точки относительно вращающейся системы отсчёта. Добавление силы Кориолиса к действующим на материальную точку физическим силам позволяет учесть влияние вращения системы отсчёта на такое движение

1.3 Ускорение точки в сложном движении. Ускорение Кориолиса

Согласно теореме Кориолиса, абсолютное ускорение точки в сложном движении определяется как геометрическая сумма относительного, переносного и кориолисова ускорений (рис. 3)

aa = ar ⊕ ae ⊕ aC .

Р ис. 3

Поскольку, в данном случае, относительное движение происходит по прямой линии, относительное ускорение ar направлено вдоль этой прямой и определяется выражением

Переносным ускорением точки M является ускорение точки M диска. Диск совершает вращательное движение, следовательно, переносное ускорение определяется выражением

ae = aeвр ⊕ aeцс ,

где aeвр= ε⋅ OM - вращательное ускорение точки M, направленное перпендикулярно отрезку OM ;

aeцс= ω2⋅ OM - центростремительное ускорение точки M, направленное к центру диска.

Ускорение Кориолиса или поворотное ускорение определяется по формуле

aC = 2 ωe ⊗ νr ,

где ωe - переносная угловая скорость,

νr - относительная скорость точки.

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу векторного произведения или по правилу Жуковского.

Величина ускорения Кориолиса определяется выражением

aC = 2 ωe νr sinα ,

где α – угол между векторами ωe и νr .

Рассмотрим, какой физический смысл заложен в ускорение Кориолиса. Для простоты будем считать, что диск вращается с постоянной угловой скоростью, а точка M движется относительно диска с постоянной относительной скоростью (рис.4).

Р ис. 4

Пусть в момент времени t1 точка M занимала положение M1 и имела относительную скорость νr 1 . За промежуток времени Δt точка M переместится в положение M2 , при этом направление скорости νr изменится вследствие вращения диска. Вектор νr получит приращение Δνr . Отношение Δνr / Δt определяет среднее ускорение точки за промежуток времени Δt . Предел отношения Δνr / Δt при Δt→ 0 есть производная dνr / dt , как производная от вектора постоянного по величине.

Рассмотрим, как изменяется переносная скорость в зависимости от относительного движения. В моменты времени t1 и t2 переносная скорость определяется выражениями νe1= ω ⊗ OM1 и νe2= ω ⊗ OM2 . Тогда приращение вектора νe за счет относительного движения будет равно

Δνe = ω ⊗ OM2 - ω ⊗ OM1 = ω ⊗ (OM2 - OM1) = ω ⊗ νr⋅ Δt

Отношение Δνe / Δt в пределе при Δt→ 0 дает производную dνe / d t = ω ⊗ νr . Таким образом, ускорение Кориолиса с одной стороны характеризует изменение относительной скорости по направлению за счет переносного вращения и, с другой стороны, изменение величины переносной скорости за счет относительного движения.

Рис. 5

Абсолютное ускорение точки в сложном движении в общем случае определяется геометрической суммой пяти слагаемых

Для определения величины абсолютного ускорения удобнее пользоваться аналитическим методом сложения векторов:

Билет №2.