Химфак-2017. 2-й курс. Вопросы к экзамену IV-го семестра по курсу высшей математике Вопросы по материалу IV-го семестра Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, вид общего решения в зависимости от корней характеристического уравнения.

Частные решения неоднородного дифференциального уравнения, получаемые методом вариации произвольных постоянных.

Частные решения неоднородного дифференциального уравнения со специальной правой частью, получаемые методом неопределенных коэффициентов.

Нормальные системы дифференциальных уравнений: основные понятия и определения. Метод исключения для решения НСДУ с постоянными коэффициентами

Определение абстрактного векторного пространства. Основные понятия: линейная зависимость, независимость векторов, базис, размерность пространства, разложение вектора по базису, координаты вектора.

Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат векторов при переходе к новому базису.

Линейное подпространство. Линейная оболочка векторов.

Линейный оператор и его матрица. Сумма и разность операторов и их матрица. Тождественный оператор.

Преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису.

Образ и ядро, ранг, дефект линейного оператора. Пример: оператор проектирования.

Обратный оператор, его матрица. Теорема о необходимых и достаточных условиях невырожденности оператора.

Аксиомы скалярного произведения в векторном пространстве. Гильбертово пространство. Система ортогональных векторов. Теорема о линейной независимости ортогональной системы.

Алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

Приведение к диагональному виду матрицы линейного оператора с простым спектром.

Определение нормы вектора. Нормированное пространство. Унитарное пространство. Норма в гильбертовом пространстве.

Эрмитовы матрицы. Сопряженный оператор, его матрица. Самосопряженный оператор, его матрица. Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора.

Свойства собственных чисел и векторов самосопряженного оператора.

Унитарные, ортогональные и эрмитовы операторы и их матрицы.

Приведение матрицы самосопряженного оператора к диагональной форме.

Понятие числовой последовательности и числового ряда Общий член ряда. Способы задания числовой последовательности и ряда. Частичная сумма ряда. Остаток ряда. Сходимость ряда. Сумма ряда.

Классификация числовых рядов: знакопостоянные, знакопеременные и знакочередующиеся ряды.

Необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов. Действия над числовыми рядами.

Признаки сходимости знакопостоянных рядов: признаки сравнения и эквивалентности, признак Даламбера и радикальный признак Коши, интегральный признак Коши. Сходимость обобщенных гармонических рядов.

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница условной сходимости. Формулировка признаков Абеля и Дирихле. Теорема Абеля о сумме условно сходящегося ряда.

Функциональная последовательность и способы ее задания. Определение функционального ряда. Поточечная сходимость и равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов. Сумма функционального ряда.

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов: признак Вейерштрасса (с док-вом).

Теорема о свойствах равномерно сходящихся функциональных рядов (без док-ва).

Степенные ряды. Лемма Абеля. Теорема Абеля о радиусе сходимости степенного ряда.

Формулы Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

Теоремы о вычислении радиуса сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда.

Теорема о ряде Тейлора. Основные разложения в ряд Тейлора.

Применение степенных рядов для приближенных вычислений значений функций, вычислений пределов, определенных интегралов, решения дифференциальных уравнений.

Определение скалярного произведения функций, ортогональности и нормы. Ортонормированные системы функций: sin nx,cos nx:

Тригонометрические многочлены и ряды. Ряд Фурье функции на интервале [-;] и ее периодическое продолжение. Теорема о единственности коэффициентов ряда Фурье для произвольной функции на интервале [-;].

Коэффициенты ряда Фурье для четной и нечетной функции на интервале [-;].

Теоремы о поточечной, равномерной сходимости ряда Фурье.

Понятие о сходимости в среднем.

Разложение в ряд Фурье на интервале [-l;l] и на произвольном интервале [-a;b].

Интеграл Фурье как предельный случай рядов Фурье.

Комплексная форма интеграла Фурье.

Формулы преобразования Фурье и обращения преобразования Фурье.