Гидродинамическое подобие и моделирование

Несмотря на развитую теорию, солидный математический аппарат, применяемый при решении газодинамических задач, тем н менее, часто встречаются задачи, в которых не удается преодолеть возникающие математические трудности, а иногда не удается даже составить уравнения, описывающие интересующий нас процесс. Во всех этих случаях приходится прибегать к постановке экспериментальных исследований. Проводить такие исследования на натурных образцах неразумно, так как это дорого и зачастую практически неосуществимо. На помощь тогда приходят теория подобия, которая устанавливает связь между физическими величинами для натуры и модели и определяет условия проведения эксперимента. Простейшим видом подобия является геометрическое подобие, которое хорошо разработано ещё со времен Эвклида. В понятие гидродинамического подобия также включается кинематическое подобие, или подобие траекторий движения частиц жидкости, и динамическое подобие, устанавливающее пропорциональность сил, действующих на подобные частицы. Отношения однородных физических величин, постоянные в любых сходственных точках подобных потоков, называются коэффициентами подобия. В гидродинамике основным уравнением, устанавливающим связь между кинетическими и динамическими величинами для реальной жидкости, является уравненяе Навье-Стокса. Приводя это уравнение к безразмерному виду с помощью введения в рассмотрение характерных величин — скорости , линейного размера ‚ давления , силы и времени процесса , получим под знаком дифференциала величины, выраженные через коэффициенты подобия, а перед каждым членом уравнения Навье-Стокса безразмерные комплексы. Если безразмерные комплексы в уравнения Навье-Стокса для натуры и модели выдержать одинаковыми, а остальные величины выражены через коэффициенты подобия, то решение уравнения Навье-Стокса в этом случае будет одинаковым для натуры и модели. Безразмерные комплексы являются критериями подобия.

Критерий гидродинамической гомохронности процесса (критерий Струхаля)

(6.1)

где —частота явления; критерий Фруда

(6.2)

критерий Эйлера

(6.3) критерий Рейнольдса

(6.4) Однако приведенные критерии подобия не исчерпывают всех случаев подобия, с которыми приходится встречаться при решении газодинамических задач. Другим наиболее общим уравнением газодинамики, учитывающим и тепловые процессы, происходящие в жидкости при ее движении, является уравнение энергии. Так для плоской задачи установившегося течения при С_p = const и коэффициента теплопроводности λ = const уравнение энергии запишется:

(6.5)

Если это уравнение также привести к безразмерному виду, используя те же характерные величины, дополненные характерным перепадом температур , и затем поделить все уравнение на размерный множитель левой части, тогда получим уравнение энергии в безразмерном виде, решения которого будут одинаковыми и для натуры и для модели, если безразмерные комплексы при производных правой части уравнения будут одинаковыми для натурного процесса и для смоделированного процесса. Безразмерные комплексы правой части получаются такими: (6.6)

Эти безразмерные комплексы являются комбинацией критериев подобия. Так первый комплекс (6.6)

где

(6.7) Второй комплекс (6.6)

(6.8)

как видно, является комбинацией критерия Прандтля и числа Рейнольдса. Критерий Прапдтля можно записать через коэффициент температуропроводности

; (6.9)

(6.10) Произведение критерия Прандтля на число Рейнольдса дает новый критерий подобия — Пекле, который используется при моделировании процессов теплообмена. Третий комплекс (6.6)

(6.11) не приводит к новым критериям подобня. Необходимо отметить, что при записи уравнения Навье-Стокса из массовых сил мы учитывали только силы тяжести и это привело к появлению критерия Фруда. Если же рассматривать движение жидкости в среде с заметной разностью в плотностях, то необходимо еще учитывать архимедову силу. Отношение силы Архимеда к инерционной силе приводит к появлению критерия Архимеда

(6.12) который необходимо учитывать при моделировании гидродинамических процессов с большой разностью температур потока и окружающей среды, — коэффициент объемного расширения. Критерий Архимеда можно записать:

(6.13)

Безразмерная величина

(6.14) характеризует отношение силы Архимеда к силе вязкости и называется критерием Грасгофа. Эти критерии подобия должны быть дополнены критерием, характеризующим масштаб турбулентности,

(6.15)

В случае изотропной турбулентности

(6.15`) Хотя критерии подобия — безразмерные величины, однако каждый имеет определенный физический смысл. Так критерий Эйлера характеризует отношение силы давления к силам инерции в потоке

Если испытание модели происходит в потоке тех же физических свойств, что и натурного объекта ( ), то в этом случае равенcтво чисел М в модельном и натурном процессах равнозначно равенству критерия Эйлера в обоих процессах. Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции к силам вязкости. Критерий Фруда — мерой отношения сил инерции к силам тяги в однородном потоке. Критерий гидродинамической гомохронности процесса используется при рассмотрении нестационарных процессов. Он является мерой отношения локальной силы, вызванной неустановившимся движением, к силе инерции. Критерий Прандтля является мерой подобия температурных и скоростных полей в потоке. Критерий Пекле есть мера отношения молекулярного и конвективного переноса тепла в потоке. Критерий Архимеда есть мера отношения силы Архимеда к силе тяжести. Критерий Грасгофа является мерой отношения силы Архимеда к силе вязкости.

Температурный критерий характеризует отношение прироста температуры при торможении потока к избыточной температур потока. Конечно, это не все критерии подобия, с которыми придётся встречаться на практике. Легко убедиться, что соблюсти равенство всех критериев подобия для натурного и модельного объекта почти невозможно Поэтому приходится довольствоваться не полным, а частичным подобием, при этом надо иметь в виду, что влияние каждого критерия подобия в исследуемом диапазоне сказывается неодинаково. Наибольшее число безразмерных комплексов П, характеризующих данный процесс, определяется формулой

П = m – n, (6.16)

где т — число размерных величин, характеризующих данны процесс; n — число размерностей. В теории подобия широко используется метод исследования, основанный на теории размерностей. С помощью теории размерностей удается получить уравнения для таких процессов, которые не поддаются изучению с помощью иных методов. Теория размерностей позволяет найти из размерных величин правильное сочетание безразмерных комплексов, характеризующих изучаемый процесс. В основе теории размерностей лежит решение простых уравнений размерностей, которые проще рассмотреть на примере. Пусть требуется найти выражение для силы лобового сопротивления тела конкретной формы. Будем считать, что

или

где с — безразмерный коэффициент, учитывающий индивидуальные особенности обтекаемой поверхности тела. Из уравнения размерностей найдем показатели степени

или

Показатели степени у одинаковых размерностей в обеих частях равенства должны совпадать. Поэтому можно написать такие уравнения:

Поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, поэтому одно из неизвестных произвольно. Пусть этой величиной будет γ.

Тогда

.

Уравнение для силы лобового сопротивления

или

На долю эксперимента остается только найти показатель степени γ и постоянную С в зависимости от режима течения и конкретных особенностей обтекаемого тела.

ЗАДАЧИ 6. 1. Предполагая, что коэффициент лобового сопротивления , определить безразмерный критерий подобия и указать область его использования.

6. 2. Найти безразмерные критерии подобия из следующих размерных величин:

а) р Н/м²; υ м³; ρ кг/м³; l м; g м/с²;

б) g м/с²; ρ кг/м³; Q м³/с; R H;

в) р Н/м²; μ Н∙с/м²; t⁰ C.

6. 3. Предполагая, что коэффициент лобового сопротивления найти безразмерный критерий подобия и указать, насколько полно учитывает этот критерий все факторы, влияющие на коэффициент лобового сопротивления.

6.4. Найти безразмерные критерии подобия из следующих размерных величин:

а) ω м/с; l м; t⁰ C;

б) υ м³; t⁰ C; ν м²/с;

в) R H; p Н/м²; l м;

г) τ Н/м²; ρ кг/м³; ω м/с;

6. 5. Для определения с_х в с_у крылового профиля катера на подводных крыльях последние испытывают в натуральную величину в аэродинамической трубе. Полагая, что катер будет развивать (среднюю путевую, скорость 60 км/час в воде с температурой t = 10°С, определить, какую скорость должен иметь поток воздуха в трубе, чтобы результаты испытания были справедливы для рабочих условий? В рабочей части аэродинамической трубы воздух имеет давление потока 1200 мм рт. ст. в температуру Т==300К. Прокомментируем полученный результат.

6.6. Модель судна выполнена в масштабе 1: 10. Определить, при какой скорости в гидроканале должна испытываться модель, чтобы коэффициент сопротивления, вызванного волновыми эффектами, у модели и натуры были одинаковыми. Судно рассчитано на движение со средней скоростью 40 км/час.

6. 7. Требуется определить сопротивление при снижении воздушного шара на основании исследования спуска в воде модели выполненной в масштабе 1:50. Какие условия необходимо выдержать при проектировании модели и что именно надо замерить при выполнении опыта?

6. 8. Потребная для привода насоса мощность зависит от объемного расхода Q м³/с, плотности жидкости ρ кг/м³, ускорения земного тяготения g м/с², напора Н м и коэффициента полезного действия насоса η. Найти выражение для мощности привода с помощью анализа размерностей.

6. 9. Крутящий момент турбины зависит от расхода G кг/с, напора Н∙м, угловой скорости ω 1/с и к.п.д. процесса расширения η. Пользуясь анализом размерностей, найти выражение для крутящего момента М Н ∙м.

6. 10. Какая скорость движения нефти в трубе диаметром 30 мм динамически подобна скорости воды 6 м/с при температуре 20°С в трубе диаметром 5 мм (плотность и вязкость нефти ρ = 840 кг/м³;μ =0,20 пз)?

6 11. По трубопроводу диаметром 150 мм перекачивается нефть (ρ = 840 кг/м³; μ= 0,20 пз) с расходом 0,354 м³/с. Какова должна быть скорость движения воды при t = 20°С в трубопроводе того же диаметра, чтобы режим течения был динамически подобен движению нефти в трубопроводе с заданным расходом?

6. 12. По трубопроводу прокачивается вода со скоростью 15 м/с. С какой скоростью по данному трубопроводу надо прогонять воздух, чтобы режимы течения были динамически подобными? давление и температура в трубопроводе в обоих случаях одинаковы ( р = 760 мм. рт. ст.;t = 20°С).

6. 13. Модель л. а., выполненная в масштабе 1 : 6, имеет коэффициент лобового сопротивления с_х= 3,5 при М = 2,0. Во сколько раз сила сопротивления натурального объекта будет больше сопротивления модели, если его запуск производится при том же числе М в воздухе с той же температурой, но при плотности, вдвое меньшей, чем та, при которой производились запуски модели?

6. 14. Топливная система двигателя, выполненная из труб диаметром 150 мм, пропускает 400 л/с керосина. Определить, какое количество воды должно протекать по модельной сборке системы при диаметре труб 50 мм, чтобы движение в обоих системах было динамически подобным, какие при этом будут скорости прокачки керосина и воды? Динамическая вязкость керосина и воды при температуре перекачки μ_k =0,20 пз; μ_в= 0,01004 пз. Плотность керосина при этом ρ = 835 кг∙с/м³.

6. 15. Доказать, что критерий Рейнольдса характеризует отношение сил инерции к силам трения в потоке.

6. 16. Доказать, что критерий Фруда выражает отношение сил инерции к силам тяжести.

6. 17. Доказать, что критерий Эйлера есть мера отношения сил давления к силам инерции в потоке.

6. 18. Доказать, что число М характеризует отношение кинетической энергии потока к теплосодержанию потока. 6. 19. Сколько безразмерных комплексов П необходимо для выражения функции, зависящей от следующих размерных величин:

а) F_a = f ( G кг/с; ν м²/с; l м; t⁰ C; ω м/с );

б) F_б = f ( Q м³/с; ν м²/с; l м; t⁰ C; ω м/с );

в) F_в = f ( ρ кг/м³; μ Н∙с/м²; l м; t⁰ C; ω м/с );

г) F_г = f ( ν м²/с; l м; t⁰ C; ω м/с );

6. 20. Для определения сопротивления поплавка гидросамолета требуется провести опыт на модели с одновременным соблюдением подобия по критериям Фруда и Рейнольдса. В качестве модельной жидкости предлагается выбрать ртуть ( μ_рт = 1,6∙10^-3 Н∙с/м² ) Определить, какие при этом должны быть геометрический и кинематический масштабы моделирования.

6.21. Определить, с какой скоростью и при какой температуре необходимо прокачивать керосин ( ρ = 810 кг/м³) по трубе диаетром 50 мм, чтобы получить динамически подобные условия движению воды по трубе диаметром 150 мм с расходом 28 кг/с при температуре воды 20°С.

6. 22. для определения аэродинамическго сопротивления автомобиля высотой 1,7 м необходимо испытать его модель в аэродинамической трубе, соблюдая подобие по числу Рейнольдса. Определить размер модели автомобиля, если известно, что аэродинамическая труба работает на расширении атмосферного воздуха (В₀ = 760 мм рт. ст.; t = 15°С) со скоростью потока 100 м/с. Максимальная скорость движения автомобиля 130 км/час.

6. 23. Для условий задачи 6.22 по замеренной в аэродинамической трубе силе сопротивления модели автомобиля подсчитайте, какую силу сопротивления будет иметь автомобиль при максимальной скорости движения. Прокомментируйте полученный результат.

6. 24. В аэродинамической трубе с закрытой рабочей частью испытывается модель решетки компрессорных профилей, предназначенных для работы на последних ступенях компрессора с большой степенью повышения давления. Определить, какие должны быть давление и температура в рабочей части трубы при скорости потока в трубе не более 0,9 скорости звука, если геометрические размеры выбраны = 0,5; степень повышения давления в компрессоре π_k = 10; относительная скорость потока на входе в ступень компрессора 260 м/с. Компрессор работает у земли при стандартных условиях. Моделирование выдержать по критерию Рейнольдса.

6. 25. Коэффициент теплоотдачи α, характеризующий процесс телообмена между твердым телом и обтекающей его жидкостью для случая течения в трубе круглого сечения, является функцией

, где α дж/м²∙ час К — коэффициент теплоотдачи; ω м/С — средняя по расходу скорость жидкости; μ Нс/м² — коэффициент динамической вязкости; с дж/кг К — удельная теплоемкость жидкости;

λ дж/м час К — коэффициент теплопроводности жидкости; ρ кг/м³ плотность жидкости; Dм, lм —диаметр и длина трубы; g м/с² — ускорение силы тяжести. Определить число безразмерных комплексов, характеризующих данный процесс, составьте эти комплексы.

6. 26. Натурный объект работает в воздушном потоке. Эксперимент на модели при испытании также в потоке воздуха требует выдержать равенство критериев Рейнольдса и Эйлера одвовременно. Найти масштабы подобия для геометрических размеров К_l для скоростей К_ω.