Лекция № 15. 30.05.2017
Если записать подробнее комплексный ряд Фурье, т.е. внутри суммы подробно представить коэффициент, то получим:
.
Обозначим частоту
.
Приразение частоты от предыдущего к
следующему номеру:
.
Разложение в ряд Фурье существует для
функции на
для любого сколь угодно большого
.
При этом период увеличивается, а частота
уменьшается. Если представить что
то вся действительная ось представляет
собой один большой период, при этом
.
Очевидно, что можно рассматривать тригонометрические функции с любым действительным коэффициентом, т.е. может ьыть не лискретный, а непрерывный набор частот синуса и косинуса.
Предельным переходом при
сумма превращается в интеграл (как
интегральные суммы в прошлых темах).
Интеграл Фурье
Промежуточная переменная
во внутренней части этого двойного
интеграла пишется для того, чтобы
отличать её от внешней переменной
.
Но ведь можно коэффициент поделить
поровну между внешним и внутренним
интегралом,
.
Та функция от
,
которая здесь в скобке, называется
преобразованием Фурье:
Преобразование Фурье
Когда мы не рассматриваем её в двойном интеграле, то можно не заменять на новую переменную .
Симметричность формул прямого и обратного преобразования Фурье:
и
Пример. Найти преобразование Фурье
для функции
Решение. Здесь на левой части действительной
оси функция тождественно 0, так что
интеграл только по правой части:
=
=
.
Можно ещё и домножить на сопряжённое,
чтобы в знаменателе получить действительное
выражение, тогда ответ:
.
Гиперкомплексные системы. Кватернионы.
Программа Maple.
Приложения.
1. Вопросы на доказательства
Лекция № 13
1. Вывод формул коэффициента (Фурье) разложения по ортогональной системе: или .
2. Доказать теорему: Среднеквадратичное отклонение между и минимально коэффициенты (совпадают с коэффициентами Фурье).
3. Доказать, что если ортогональные функции, то :
=
.
Лекция № 14
1. Доказать ортогональность основной тригонометрической системы
и вычислить квадраты норм функций.
2. Доказать, что ряд Фурье имеет вид где его коэффициенты:
, , .
3. Вывести гармонический вид записи ряда Фурье:
4. Доказать ортогональность системы и вычислить квадраты норм этих функций.
2. Определения и формулировки.
Лекция № 13
Что такое скалярное произведение функий, норма функции.Приведите пример.
Что такое ортогональные фнукции, ортогональная система функций.
Что такое среднее и среднеквадратичное отклонение.
Напишите вид коэффициента Фцрье по произвольной ортогональной системе.
Лекция № 14
Что такое основная тригонометрическая система?
Что такое периодическое продолжение?
К чему сходится ряд Фурье в точке разрыва?
Какие коэффициенты равны 0 в ряде Фурье в случае чётности либо нечётности функции?
Как вводится скалярное умножение комплекснозначных функций?
Лекция № 15
Что такое интеграл Фурье и преобразование Фурье, запишите формулы.
3. Примеры из лекций.
Лекция № 13
Пример. Разложить функцию :
а) в ряд Лорана в кольце
б) во внешней области
в) в ряд Тейлора в круге .
Пример. Разложить в ряд Лорана по степеням .
Пример. Найти скалярное произведение и на интервале (0,1).
Пример. Доказать, что функции , ортогональны на интервале .
Лекция № 14
Пример. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на интервале (-1,1).
Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:
Лекция № 15
Пример. Найти преобразование Фурье для функции