Ортогональные функции.

Две функции называются ортогональными на интервале , если , то есть .

Здесь нет такого простого геометрического смысла, как в случае перпендикулярных векторов, для функций ортогональность значит, что произведение функций где-то больше, а где-то меньше нуля так, чтобы эти части компенсировались и уничтожились при интегрировании.

Пример. Доказать, что функции , ортогональны на интервале .

= = = = 0.

Замечание. Если одна из функций в произведении тождественно равна 0, то интеграл очевидно, равен 0. Поэтому тождественный 0 это ортогональная всем функция.

Ортогональные системы. Если любая пара функций в системе ортогональна, то система называется ортогональной.

ортогональна, если для любых .

Система функций на отрезке :

ортогональна, её подробно рассмотри позже, с помощью неё как раз и строятся тригонометрические ряды Фурье.

Формулы коэффициента (Фурье) разложения по ортогональной системе: или .

Доказательство. Пусть функция представлена в виде суммы: найдём коэффициенты .

Можно скалярно домножить на . Получим

=

среди этих слагаемых, лишь одно отлично от нуля, ведь система ортогональна, и при будет .

Тогда , тогда то есть .

Можно записать и с помощью интегралов: .

Аналогичное равенство верно и для векторов: .

Максимальное, среднее и среднеквадратичное отклонение.

Чтобы исследовать взаимосвязь 2 функций, а именно, удаление их графиков друг от друга, можно использовать такую величину:

называемую «равномерным», или максимальным, отклонением между графиками. Однако это не совсем точно характеризует взаимосвязь пары функций, ведь они могут идти очень близко, а затем удалиться на коротком интервале, а отклонение будет считаться большим. Например, как на чертеже:

Вместо этого можно рассматривать среднее значение модуля разности, и это уже более точная оценка.

- среднее отклонение.

Но чтобы посчитать интеграл от модуля, надо искать точки пересечения и разбивать интервал на части. Чтобы избежать этих громоздких вычислений, можно рассматривать такую величину:

среднеквадратичное отклонение между и . Когда среднее стремится к 0, то и среднеквадратичное тоже, и хотя они не прямо пропорциональны, но минимальное значение одной из этих величин достигается при тех же условиях, что и у другой.

Если домножить функции из системы на какие-то коэффициенты, то получится выражение многочлен по ортогональной системе.

Теорема. Среднеквадратичное отклонение между и минимально коэффициенты (совпадают с коэффициентами Фурье).

Доказательство. минимально тогда и только тогда, когда минимально, так что мы можем рассмотреть просто интеграл от квадрата разности, то есть величину . Во-первых, она по построениею больше или равна 0. Рассмотрим её подробнее:

= применим свойства скалярного произведения, будет так:

=

.

Но от двойной суммы где (n+1)² слагаемых, фактически остаётся только (n+1) так как при несовпадении номера, скалярные произведения 0, ведь это ортогональная система.

=

преобразуем 2-е слагаемое по формуле .

теперь прибавим и вычтем такое слагаемое, чтобы образовать разность квадратов:

=

=

.

Это выражение минимально, когда разность равна 0, то есть в точности, когда что и требовалось доказать.

Отсюда следует неравенство Бесселя:

При получается равенство , которое называется уравнением замкнутости.

Аналоги в векторных пространствах: если рассмотреть неполную сумму квадратов координат какого-то вектора, то очевидно, она меньше, чем квадрат его модуля. Так, для вектора из 3 координат

, . Так и здесь, если рассматривать не всю систему функций, а всего лишь до номера n то получим неравенство, а если всю - то равенство.

Кстати, с помощью скалярных произведений и норм можно доказать аналог теоремы Пифагора для систем функций.

Если ортогональные функции, то :

=

для векторов такое равенство означало,что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

ЛЕКЦИЯ № 14. 23.05.2017

Основная тригонометрическая система

Рассмотрим на отрезке такую систему функций:

Рассмотрим подробнее, какие у них периоды. Известно, что при умножении на коэффициент частота увеличивается, а соответственно период уменьшается.

Если имеет период , то имеет период ,

имеет период , то есть как раз совершает одно колебание на

. Впрочем, можно было бы рассматривать и на .

имеет период , то есть для двух первых тригонометрических функций (не считая константы, конечно) на этом промежутке укладывается ровно одна волна, а для последующих - кратное число колебаний.

Докажем её ортогональность.

Константа ортогональна любой из функций этой системы, так как

в интегралах и интегрируется функция, у которой целое количество периодов на данном отрезке, и такой интеграл равен 0.

Ортогональность всех остальных функций доказывается по формулам тригонометрии:

.

= =

но так как (мы же взяли разные функции из системы) то будет то есть разность интегралов, каждый из которых 0 в силу того, что там периодическая функция, у которой на промежутке укладывается целое число полных периодов.

Для двух косинусов аналогично: = = = 0.

Для синуса и косинуса = =

= 0 .

А если умножать не разные функции, а одну и ту же, то получится квадрат нормы. Посчитаем квадраты норм всех функций:

= = .

= = =

.

= = =

.

Ряд Фурье:

его коэффициенты:

, , .

Ряд Фурье с помощью синусов и косинусов разных частот осуществляет наилучшее приближении графика функции, в том смысле, что наименьшее среднеквадратичное отклонение. Для частичных сумм ряда, чем больше взято частот, тем более мелкие особенности графика будут учтены, и огибающая пройдёт ближе.

Докажем, что ряд Фурье имеет именно такое строение. Вспомним общую формулу . У нас в данном случае квадрат нормы равен для этой конкретной системы. Скалярное произведение определяется через интеграл. Поэтому в этом случае имеет вид . Подробнее рассмотрим коэффициент .

= = .