Лабораторная работа №2. Логические модели представления знаний. Метод аналитических таблиц.

Цель работы: получение практических навыков построения механизма логического вывода основанного на средствах математической логики.

В результате выполнения лабораторной работы обучающийся должен демонстрировать следующие результаты:

Коды компетенций	Планируемые результаты освоения образовательной программы	Планируемые результаты обучения по дисциплине (модулю)

Теоретическая часть

При работе метода аналитических таблиц (или метода семантических таблиц) отсутствует необходимость приведения формулы к КНФ. Метод работает с формулами, представленными в ДНФ. При этом метод работает с четырьмя основными логическими связками конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и импликация. Данный метод, как и метод резолюций, относится к методам опровержения, то есть для доказательства общезначимости (доказуемости) формулы доказывается тождественная ложность ее противоречие . Идея метода основывается на следующих утверждениях:

1. Для конъюнкции двух формул достаточно выяснить равенство нулю одной из формул.

2. Для дизъюнкции двух формул необходимо выяснить равенство нулю обеих формул.

Таким образом, любая сколь угодно сложная формула будет расщепляться. Для четырех связок могут быть следующие варианты формул (связка и ее отрицание):

Другого вида формул быть не может. Все эти формулы разделяются на формулы конъюнктивного типа , состоящие из двух компонент и , и формулы дизъюнктивного типа , аналогично состоящие из двух компонент и . При этом если формула имеет один из указанных видов, то она расщепляется на две половинки по следующим правилам расщепления:

формулы конъюнктивного вида			формулы дизъюнктивного вида

Идея метода заключается в следующем. Необходимо построить некоторое дерево, описывающее данное расщепление, в котором необходимо все расщепить по максимуму (до литер) и получить контрарную пару в каждой ветке.

Правила построения дерева:

1. Если формула вида , то обе половинки и строятся в одной ветке.

2. Если формула вида , то половинки и расщепляются на две ветки.

Таким образом, аналитическая таблица для произвольной формулы представляет собой последовательность строк, где первая строка состоит из одной-единственной формулы . Каждая строка аналитической таблицы получается из предыдущей, применением одного из правил расщепления к какой-нибудь означенной формуле. В дальнейшем (при построении аналитической таблицы) количество столбцов (ветвей) может увеличиваться, поскольку каждое применение правила с ветвлением разделяет предыдущий столбец на два других столбца.

В результате расщепления могут быть получены следующие варианты:

- каждая ветка либо замкнется (замкнутая аналитическая таблица), то есть получатся контрарные пары, что тождественно пустому дизъюнкту;

- либо никаких расщеплений дальше уже сделать нельзя.

В итоге все дерево будет либо полностью расщеплено, либо все ветки на этом дереве замкнутся. Если формула не общезначима, то для нее нельзя построить замкнутой аналитической таблицы, т.е. аналитическая таблица для этой формулы будет содержать такой столбец (или столбцы), что никакое применение какого-либо правила редукции не приводит к замыканию этого столбца.

Рассмотрим постановку задачи, для решения которой пригоден метод аналитических таблиц. Доказать, что из посылок (формул) , следует некоторое следствие В» . Данная задача эквивалентна следующей записи . Как говорилось данный метод относится к методам опровержения, следовательно, первая строка таблицы содержит формулу .

Если таблица окажется замкнутой, то между формулами , с одной стороны, и формулой , с другой, имеется отношение логического следования. А если отношения следования между посылками и заключением нет, то соответствующую замкнутую аналитическую таблицу построить нельзя.

При построении доказательств в аналитических таблицах можно ограничиться единственной рекомендацией (эвристикой), а именно: если в образовавшихся строках появились формулы типа (правила без ветвления) и типа (правила с ветвлением), то удобнее сначала применять правила без ветвления (к формулам типа ).