6Методы моделирования оптимизации

6.1Пояснить в чем сущность метода золотого сечения, применяемого для решения задач оптимизации.

Сущность метода золотого сечения для решения задач оптимизации заключается в уменьшении длины интервала неопределенности (ИН) на котором функция заведомо имеет минимум, для достижения заданной точности нахождения минимума.

В основе метода лежит принцип деления отрезка в пропорцияхзолотого сечения.

Пусть заданафункция . Тогда для того, чтобы найти определённое значение этой функции на заданном отрезке, отвечающее критерию поиска (пусть это будетминимум), рассматриваемый отрезок делится в пропорции золотого сечения в обоих направлениях, то есть выбираются две точки и такие, что:

.

Т аким образом:

То есть точка делит отрезок в отношении золотого сечения. Аналогично делит отрезок в той же пропорции. Это свойство и используется для построения итеративного процесса.

На первой итерации заданный отрезок делится двумя симметричными относительно его центра точками и рассчитываются значения в этих точках.

После чего тот из концов отрезка, к которому среди двух вновь поставленных точек ближе оказалась та, значение в которой максимально (для случая поискаминимума), отбрасывают.

На следующей итерации в силу показанного выше свойства золотого сечения уже надо искать всего одну новую точку.

Процедура продолжается до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность.

Шаг 1.Задаются начальные границы отрезка и точность .

Шаг 2.Рассчитывают начальные точки деления:

и значения в нихцелевой функции: .

Е сли (для поиска max изменить неравенство на ), то иначе

Шаг 3.

Если , то

Иначе возврат к шагу 2.

6.2Пояснить в чем сущность метода деления отрезка пополам, применяемого для нахождения оптимальных точек функции.

Метод деления отрезка пополам.Пусть дано уравнениеf(x)=0, функция f(x) непрерывна на интервале [a,b]. Условие f(a)*f(b)<0 указывает тогда на наличие хотя бы одного корня на этом отрезке.

Поделим отрезок [a,b] пополам точкой c, координата которой c=(a+b)/2 и вычислим значение функции f(c). Возможны два случая: а) f(a)*f(c)>0, т.е. значения функции на концах отрезка [a, c] одинаковы по знаку; тогда корень уравнения находится на отрезке [c, b] и отрезок [a, c] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку a в точку c:a=c; f(a)=f(c) (рис. а);

б) f(a)*f(c)<0, т.е. значение функции на концах отрезка [a, c] противоположны по знаку; тогда корень находится на отрезке [a, c] и отрезок [c, b] можно исключить из дальнейшего рассмотрения, перенеся точку bв точку c:b=c (рис. б). После исключения правой или левой половины отрезка продолжают деление пополам до тех пор, пока длина оставшегося интервала [a, b] не станет меньше некоторой заданной малой величины , т.е.|b-a|< , и тогда любое значение аргумента из отрезка [a, b] можно считать корнем с погрешностью . Обычно принимают в качестве корня середину отрезка.

Отметим, что здесь имеет смысл допустимой абсолютной погрешности вычисления корня. Достоинством метода является его безусловная сходимость, если на интервале [a, b] имеется хотя бы один корень. Кроме того, метод не использует производных. К недостаткам относят медленную сходимость, т.е. достаточно большое число вычислений функции f(x)по сравнению с другими методами. Рекомендуется к использованию в тех случаях, если нет жестких требований ко времени счета