3.3Пояснить каковы особенности решения оптимизационных задач в MathCad

В системе MathCAD такие задачи решаются с помощью блоков Given-Maximize и Given-Minimize. Так же, как и при решении систем уравнений, решающий блок состоит из нескольких компонент, в строго определенном порядке:

1. Присваивание начальных значений переменным, относительно которых решается задача оптимизации.

2. Определение целевой функции.

3. Директива Given.

4. Ограничения, записываемые в обычной математической форме. Могут использоваться все знаки отношений, но вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl-=). Замечание: система MathCAD при минимизации и максимизации воспринимает знаки строгого неравенства (<,>) как знаки нестрогого неравенства .

5.Обращение к одной из функций Minimize или Maximize для соответственно минимизации или максимизации. Первым аргументом всегда является имя целевой функции. Далее следуют имена переменных, относительно которых решается задача. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент - второй переменной и так далее.

3.4Пояснить каковы особенности решения оптимизационных задач в msExсel

Для решения оптимизационных задач в Excel предназначена надстройка Поиск решения

Средство поиска решенияMicrosoftExcel использует алгоритм нелинейной. Поиск решений является частью блока задач, который иногда называют анализ "что-если". Процедура поиска решения позволяет найти оптимальное значение формулы содержащейся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в модели, применяются ограничения. Эти ограничения могут ссылаться на другие влияющие ячейки.

Процедуру поиска решения можно использовать для определения значения влияющей ячейки, которое соответствует экстремуму зависимой ячейки − например можно изменить объем планируемого бюджета и увидеть, как это повлияет на проектируемую сумму расходов.

Для решения общей оптимизационной задачи в Excel с использованием настройки Поиск решения следует выполнить следующие действия:

1. Ввести формулу для целевой функции;

2. Ввести формулы для ограничений оптимизационной задачи;

3. Выбрать в Excelпункт меню Сервис/Поиск решения;

4. В окне Поиск решения выбрать целевую ячейку, изменяемые ячейки и добавить ограничения;

5. Нажать кнопкуВыполнить, после чего будет получено решение оптимизационной задачи.

3.5Дать понятие унимодальной функции. Пояснить алгоритм проверки функции на унимодальность.

Унимодальная функция

Определение. Непрерывная функция  f(x) называется унимодальной на отрезке [a, b] если:

• точка x* локального минимума функции принадлежит отрезку [a, b];

• для любых двух точек отрезка x1и x2 , взятых по одну сторону от точки минимума, точке x1более близкой к точке минимума соответствует меньшее значение функции, т.е. при x*< x1 < x2 либо при x2< x1 < x* справедливо неравенство f(x1)< f(x2) .

Достаточное условие унимодальности функции  f(x) на отрезке [a, b] содержится в следующей теореме.

Теорема. Если функция  f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a, b] и f ′′( x*) >0 в любой точке этого отрезка, то  f(x) – унимодальная функция на [a, b]. Условие f ′′( x*) >0 определяет множество точек, на котором функция является выпуклой (вниз). Условие f ′′( x*)<0 определяет вогнутую функцию, которая на отрезке [a, b] имеет максимум и также является унимодальной.

Функция является унимодальной на отрезке , если она на этом отрезке имеет единственную точку глобального минимума и слева от этой точки является строго убывающей, а справа строго возрастающей.

 Для проверки унимодальности функции f(x) на практике используют следующие критерии: – если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и производная f'(x) не убывает на этом отрезке, то f (x) принадлежит Q [a, b]; – если функция f(x) дважды дифференцируема на отрезке [a, b] и вторая производная f''(x)≥0 при х принадлежит [a, b], то f(x) принадлежит Q[a, b].