Задача 1. Составить математическую модель сглаживающего фильтра

Основная характеристика фильтра - это частота среза (на рисунке 1 обозначена как угловая частота среза - ωс) - амплитуда колебаний данной частоты на выходе фильтра ослабляется до уровня ~0.707 от входного значения.

Частота среза f = 1/2 · π · R · C

Следующий важный параметр, позволяющий рассчитать ослабление колебаний на заданной частоте это коэффициент передачи фильтра - это отношение K = Uвых/Uвх.

Коэффициент передачи:  K = 1 / (1 + (2 · π · f · R · C))0.5

Коэффициент сглаживания: 

Необходимо помнить, что для корректной работы сглаживающего фильтра постоянная времени RC-цепочки (τ = R · C) должна быть равна или больше периода шима, тогда за один период не будет происходить полный заряд-разряд конденсатора. 

Хс = 1 / (mωс Сф); m = f01 / fc ,

где Хс – емкостное сопротивление конденсатора,

m – пульсность схемы выпрямления ( для однополупериодной схемы выпрямителя

m = 1, для двухполупериодной m = 2);

Сф – емкость конденсатора фильтра;

f01 – частота повторения выпрямленного напряжения;

fc – частота питающей сети

К п.вых = U01m / Uн ; U01m ≈ ΔUн / 2;

U01m – амплитуда первой гармонической составляющей напряжения нагрузки;

Uн – среднее значение напряжения нагрузки;

ΔUн – разница между максимальным и минимальным значениями выходного напряжения выпрямительной схемы (мгновенные значения напряжений на нагрузке),

ΔUн = Iн / (mfc Cф), откуда получим

К п.вых = 1/ (2mfc Cф Rн) или Cф = 1 / (2mfc К п.вых Rн).

Для удобства расчетов последнюю формулу представляют в виде:

Cф = 10⁸ / [ (2mfc (К п.вых %) Rн)],

где К п.вых % – коэффициент пульсации выходного напряжения фильтра, выраженный в процентах.

Коэффициент 10⁸ дает возможность получить результат в мкФ и учитывает, что коэффициент пульсации выражен в процентах.

Задача 2. Получить решение уравнения при начальном условии.

Ток в емкости можно представить в виде i = Cdu_C/dt. Отсюда

Решение этого дифференциального уравнения для напряжения на емкости также можно представить суммой свободной и установившейся составляющих u_C = u_у + u_с. Свободную составляющую найдем из решения однородного уравнения (u = 0) в виде u_с = Ue^pt. Подставим это выражение в уравнение и найдем значение p.

Выражение RCp + 1 = 0 представляет собой характеристическое уравнение, которое могло быть получено без подстановки общего выражения для свободной составляющей формальной заменой в однородном дифференциальном уравнении производных от напряжения на емкости на pk, где k - порядок производной.

Отсюда общее решение для напряжения на емкости

uC = uу + uс= uу + Ue^{- t/τ} =Е(1+e- ^t/τ)

где U - постоянная интегрирования, определяемая из начальных значений; t = 1/|p| = RC - постоянная времени переходного процесса.

Задача 3. Доказать, что является решением уравнения при начальном условии.

Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:

Найдем решение этого уравнения для свободной составляющей тока, т.е. при u = 0, в виде iсв = Iept . Для этого подставим выражение для тока в исходное уравнение и найдем значение p.

Характеристическое уравнение имеет вид:

pL + R = 0.

Общее решение уравнения для свободной составляющей:

iсв = A e^pt,

где: А – постоянная интегрирования;

p = - R/L, c-1 – корень характеристического уравнения.

Записав общий вид переходного тока катушки

i = iу + iсв = A ept,

Переходный ток в цепи, изображенной на рис. 5.4, представим в виде

i = iу + iсв.

До коммутации тока в катушке не было, следовательно,

iL(0-) = 0.

Установившаяся составляющая тока после коммутации

iу = U / R.

Свободная составляющая тока для цепи, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка

iсв = A e-t/τ =A ept , p = - R / L.

По начальным условиям определим постоянную интегрирования А и свободную составляющую тока:

i(0) = iу(0) + iсв(0); i(0) = iу(0+) + iсв(0-);

или

0 = U / R + A; A = -U / R; iсв = -U / R · e-t/τ.

Переходный ток получается в виде

i = U / R (1 - e-t/τ).