Математическая статистика / Статистические гипотезы

Основные понятия, используемые при проверке статистических гипотез

Статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайных величин (элементов). Статистические гипотезы выдвигаются, когда необходимо проверить, является ли наблюдаемое явление элементом случайности или результатом воздействия некоторых мероприятий.

Шаги проверки статистических гипотез следующие:

• формулируется основная гипотеза H0 и альтернативная гипотеза H1;

• выбирается статистический критерий, с помощью которого будет проверяться гипотеза;

• задаётся значение уровня значимости α;

• находятся границы области принятия гипотезы;

• делается вывод о принятии или отвержении основной гипотезы H0.

Рассмотрим эти шаги и связанные с ними понятия подробнее.

1. Статистические гипотезы.

Основная гипотеза H0 - предположение о свойствах генеральной совокупности, которое является логичным и правдоподобным, но требует проверки. Пока не доказано, что её утверждение ложно, она считается истинной.

Альтернативная гипотеза H1 - утверждение о свойствах генеральной совокупности, которое принимается в случае, когда нет возможности принять основную гипотезу.

Гипотезы бывают простые (содержащие одно предположение) и сложные (содержащие несколько предположений).

2. Статистические критерии для проверки гипотез

• Статистический критерий - статистическая характеристика выборки, вычисляемая по некоторому математическому соотношению (формуле) на основе данных, имеющихся в выборке. Он является случайной величиной, закон распределения которой известен. Зачастую в названии статистического критерия упоминается его закон распределения. Например, критерий хи-квадрат-Пирсона подчиняется закону распределения хи-квадрат. Чем ближе значение статистического критерия к нулю, тем более вероятно, что основная гипотеза является верной.

По значению этой характеристики принимается решение, принимать основную гипотезу или нет. Статистические критерии бывают:

• Параметрические - критерии значимости, которые служат для проверки гипотез о параметрах распределения генеральной совокупности при известном виде распределения.

• Критерии согласия - позволяют проверить гипотезы о соответствии распределений генеральной совокупности известной теоретической модели.

• Непараметрические критерии - используются в гипотезах, когда не требуется знаний о конкретном виде распределения.

3. Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений I_доп) называют совокупность значений критерия, при которых эту гипотезу принимают.

4. Критической областью I_кр называют множество значений критерия, при котором гипотезу отвергают.

5. Наблюдаемые значения критерия (статистика) K_набл называют такое значение критерия, которое находится по данным выборки.

6. Границы критической области, отделяющие ее от области принятия гипотезы, называют критическими точками и обозначают K_кр.

7. Для определения критической области задается уровень значимости - некая малая вероятность попадания критерия в критическую область. Уровень значимости - вероятность принятия конкурирующей гипотезы, тогда как справедлива основная.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем: если наблюдаемое значение статистики критерия попадает (не попадает) в критическую область, то гипотеза H₀  отвергается (принимается), а гипотеза H₁  принимается (отвергается) в качестве одного из возможных решений с формулировкой «гипотеза H₀ противоречит (не противоречит) выборочным

Исходы проверки гипотез в виде таблицы:

	Гипотеза принята	Гипотеза отвергнута
Гипотеза верна	Правильное решение	Ошибка первого рода
Гипотеза неверна	Ошибка второго рода	Правильное решение