ПР 10 Вариационные ряды

Практическая работа по теме:

«Вариационные ряды»

Рассмотрим некоторые примеры решения задач к ука­занной теме.

♦ Пример 1

Данные об оценках группы студентов колледжа по дис­циплине «Теория вероятностей и математическая статисти­ка» выбрали случайным образом из ведомостей студентов второго курса и получили следующий ряд оценок: 5, 4, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 2, 4, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 5, 4.

Данные сгруппировали и получили следующий в вариационный ряд:

Оценка	2	3	4	5
Количество студентов	3	12	20	10

Построить полигон распределения частостей.

Решение:

Вариационный ряд содержит варианты оценок х₁ = 2; х₂ = 3; х₃ = 4; х₄ = 5 и частоты вариантов оценок студентов т₁=3, т₂ = 12, т₃ = 20, т₄= 20. Объем выборки студентов n = 45.

Определим соответствующие частости, используя фор­мулу:

Проверим

П остроим график — полигон распределения:

Рис 1. Полигон распределения частостей

Пример 2

Вычислим среднюю взвешенную вариационного ряда из примера 1, в котором содержатся данные об оценках груп­пы студентов колледжа по дисциплине «Теория вероятнос­тей и математическая статистика»:

Оценка	2	3	4	5
Количество студентов	3	12	20	10

Решение:

Вариационный ряд содержит варианты оценок х₁ = 2; х₂ = 3; х₃ = 4; х₄ = 5 и частоты вариантов оценок студентов m₁=3, m₂=12, m₃=20, m₄=10 не равны, значит,x вычисляем взвешенную среднюю по формуле:

балла.

Ответ: средняя оценка студентов на экзамене по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статисти­ка» равна 3,82 балла.

♦ Пример 3

Вернемся к условиям примера 2. и оценим колебле­мость вариационного ряда данных об оценках группы сту­дентов колледжа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»:

Оценка	2	3	4	5
Количество студентов	3	12	20	10

Решение:

Вычислим взвешенную дисперсию вариационного ряда по формуле (учитывая, что из предыдущего примера = 3,82:

Вычислим среднее квадратическое отклонение по форму­ле:

Коэффициент вариации по формуле:

Коэффициент вариации находится в пределах 35%, из чего можно сделать вывод, что изучаемая статистическая совокупность является однородной, и колеблемость признака не высока. Следовательно, использование средней арифме­тической для ее характеристики верно — средняя арифмети­ческая типична для изучаемой совокупности.

Ответ: при исследование колеблемости средней оценки студентов на экзамене по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» дисперсия D(X)= 0,72395 (ед²); среднее квадратическое отклонение = 0,85085 баллов; коэффициент вариации V(X) = 22,28 %.

♦ Пример 4

С целью анализа вкладов населения в один из банков рай­онного центра было проведено выборочное исследование 56-ти клиентов. Суммы вкладов, внесенных клиентами в те­чение месяца поместили в интервальный вариационный ряд:

Сумма вклада в у.е.	до 500	500-1000	1000-2000	2000-3000	свыше 3000
Количество вкладчиков	27	11	8	8	2

1. Постройте гистограмму, кумуляту.

2. Рассчитайте среднюю мощность предприятий.

3. Найдите дисперсию, среднее квадратическое отклоне­ние, коэффициент вариации.

Объясните полученные результаты, сделайте выводы.

Решение:

1. Данные о годовой мощности предприятий цементной промышленности представлены в виде интервального вари­ационного ряда — значения признака заданы в виде интер­валов. При этом первый и последний интервалы — откры­тые: оба интервала не имеют одной из границ. Наконец, дан­ный интервальный вариационный ряд — с неравными интервалами: интервальные разности (разность между верх­ней и нижней границами интервала) интервалов не одина­ковы.

Условно закроем границы открытых интервалов. Интервальная разность второго интервала равна:

1000-500 = 500.

Следовательно, нижняя граница первого интервала со­ставит:

500 - 500 = 0.

Интервальная разность предпоследнего интервала равна:

3000 - 2000 = 1000. Следовательно, верхняя граница последнего интервала составит:

3000 + 1000 = 4000.

В результате получим следующий вариационный ряд:

Сумма вклада в у.е.	0-500	500-1000	1000-2000	2000-3000	3000-4000
Количество вкладчиков	27	11	8	8	2

У читывая неодинаковую величину интервалов, для по­строения гистограммы рассчитаем абсолютные плотности распределения по формуле

Построим гистограмму:

Рис. 2. Гистограмма

Для того чтобы построить кумуляту, необходимо рас­считать накопленные частоты или частости.

Накопленная частота нижней границы первого варианта равна нулю. Накопленная частота верхней границы первого интервала равна частоте этого интервала, т.е. 27.

Накопленная частота верхней границы второго интер­вала равна сумме частот первого и второго интервалов, т.е.

27+11 = 38. Далее, аналогично:

38 + 8 = 46; 46 + 8 = 54; 54 + 2 = 56.

Построим кумуляту:

Рис. 3.

Рассчитаем среднюю сумму вкладов клиентов.

Так как частоты интервалов — разные, используем для расчета средней арифметической формулу. При рас­чете числовых характеристик интервального вариационно­го ряда в качестве значений признака принимаются середи­ны интервалов.

Вар	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
№№	1,11	2,12	3,13	4,14	5,15	6,11	7,12	8,13	9,14	10,15

Задачи для решения

1. В учебном заведении исследовали возраст студентов. Для этого использовали собственно-случайную выбор­ку из 30 студентов. В результате были получены следую­щие данные:

18	17	23	18	17	16
19	18	20	17	22	17
19	21	18	18	17	20
22	18	21	17	21	18
18	19	17	23	17	21

Постройте вариационный ряд и его график. Изобрази­те кумуляту и определите числовые характеристики вариационного ряда. Определите моду и медиану данного распределения. Поясните результаты.

2. С целью исследования спроса покупателей обувного магазина была произведена случайная выборка поку­пателей, выбирающих обувь определенного размера. По данным выборочного наблюдения построили вари­ационный ряд.

Размер обуви	35	36	37	38	39	40	41	42
Число студентов	3	5	6	13	10	7	4	2

Постройте полигон распределения частостей. Изобра­зите огиву и определите числовые характеристики ва­риационного ряда. Поясните результаты наблюдений.

3. Произведено выборочное обследование коммерческих фирм по затратам на рекламу, результаты которого представлены в таблице:

Затраты на рекламу (усл. ден. ед.)	Кол-во фирм
40-60	4
60-80	3
80-100	5
100-120	6
120-1404	2

По данным выборочного обследования определите моду, медиану и характеристики вариационного ряда. Дайте им объяснение. Постройте графики: гистограмму и оги­ву частостей.

4. Для изучения длительности пользования кредитом про­ведено выборочное обследование предприятий по ме­тоду случайного бесповторного отбора. Результаты об­следования показали следующее распределение пред­приятий по длительности пользования кредитом:

Длительность пользования кредитом (дней)	Число предприятий
менее 30 30-50 50-70 более 70	10 15 20 5

По данным выборочного обследования определите моду, медиану, среднюю длительность пользования кре­дитом, дисперсию и среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Сделайте выводы.

5. В результате выборочного обследования коммерческих банков о размере прибыли за год получено следующее распределение:

Размер прибыли (млн руб.)	Число банков
менее 20	5
20-30	10
30-40	20
40-50	15
более 50	10

По данным обследования определить моду, медиану, накопленные частости и построить огиву и гистограм­му. Найти средний размер прибыли банка, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент ва­риации. Поясните результаты.

6. По результатам выборочного наблюдения за числом баллов, полученных абитуриентами на вступительных экзаменах, имеем следующие данные:

12	15	20	17	16	18
18	19	19	14	16	13
12	13	13	15	16	14
14	16	17	12	15	16
15	12	13	13	15	17

Постройте вариационный ряд и его график. Изобрази­те кумуляту частостей и определите числовые характеристики вариационного ряда. Дайте им объяснение. Оп­ределите моду и медиану данного распределения.

7. Имеются данные о количестве студентов в группах:

28 27 26 28 27 25 22 24 25 23 24 25 22 21 23 19 20 21 22 19 21 20 22 18

Постройте вариационный ряд и его график. Изобрази­те огиву для его частостей. Определите числовые харак­теристики вариационного ряда. Определите моду и ме­диану данного распределения. Поясните результаты.

8. На заводе проведено выборочное обследование выра­ботки деталей рабочими в день. По результатам наблю­дений построили вариационный ряд.

Количество деталей	48	52	56	60	64	68	72	76	80	84
Количество рабочих	2	4	6	8	12	30	18	• 8	7	5

Постройте полигон распределения частостей. Изобра­зите огиву и определите числовые характеристики ва­риационного ряда. Поясните результаты наблюдений.

9. Наблюдения за толщиной 40 металлических пластинок дали следующие результаты:

0,021	0,030	0,039	0,031	0,042	0,034	0,036
0,030	0,033	0,024	0,031	0,040	0,031	0,033
0,031	0,045	0,031	0,034	0,027	0,030	0,048
0,030	0,033	0,046	0,043	0,030	0,033	0,028
0,031	0,036	0,051	0,034	0,031	0,036	0,034
0,030	0,039	0,031	0,042	0,037

По этим данным построить интервальный ряд с длиной интервала 0,004 (первый интервал 0,020-0,024), гисто­грамму. По данным выборочного обследования опре­делите моду, медиану, среднюю толщину пластины,

10. Выборочные данные декоративных изделий показали отклонения от стандартного размера, которые помеще­ны в вариационный ряд:

Отклонение	10,2	10,4	10,6	10,8	11	11,2	11,4	11,6	11,8	12
Количество изделий	2	3	8	13	15	20	12	10	6	1

По данным выборочного обследования определите моду, медиану и характеристики вариационного ряда. Дайте им объяснение. Постройте графики: полигон час­тот и огиву частостей.

11. По данным наблюдениям за процентом жира в молоке 50 коров получены следующие результаты:

3,86 4,06 3,67 3,97 3,76 3,61 3,96 4,04 3,84 3,94

3,98 3,57 3,87 4,07 3,99 3,69 3,76 3,71 3,94 3,82

4,16 3,76 4 3,46 4,08 3,88 4,01 3,93 3,71 3,81

4,02 4,17 3,72 4,09 3,78 4,02 3,73 3,52 3,89 3,92

4,18 4,26 4,03 4,14 3,72 4,33 3,82 4,03 3,62 3,91

Построить по этим данным интервальный ряд с равны­ми интервалами (1-й интервал 3,45-3,55), гистограмму. Определите характеристики вариационного ряда. Дай­те им объяснение. Постройте графики: гистограмму и огиву частостей.

12. В учебной части собрали сведения о пропусках студен­тов без уважительной причины. Выборочное обследо­вание дало следующие результаты:

Число дней, пропущенных в текущем месяце	0	1	2	3	4	5
Число студентов	12	17	23	20	15	10

По данным обследования определите моду, медиану, накопленные частости и построите огиву и гистограмму. Найдите среднее количество пропусков, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент ва­риации. Поясните результаты.

13. Постройте гистограмму частот, найдите среднюю ариф­метическую, среднее квадратическое отклонение и ко­эффициент вариации для данных о дневной выручке в магазине электроники:

Выручка, у.е.	0-200	200-300	300-400	400-500	500-600	600-700
Число дней	3	5	9	14	8	3

Определите моду, медиану. Постройте графики. Дайте объяснение полученным результатам.

14. Для изучения норм выработки рабочих на заводе было произведено выборочное наблюдение. В механическом порядке обследовано 200 рабочих, показавших следую­щие затраты времени на обработку детали:

Затраты времени на одну деталь	Число рабочих
12-14	20
14-16	50
16-18	75
18-20	35
20-22	20

Определите моду, медиану. Постройте графики. Нади-те средние затраты времени на обработку одной дета­ли, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, раз­мах вариации затрат времени, коэффициент вариации. Дайте им объяснение. Постройте гистограмму и кумуляту частот.