4.1. Рыночная модель

Одна из самых распространенных моделей использует в ка­честве фактора F доходность рыночного индекса . «Ры­ночным индексом называется взвешенная сумма курсов акций наиболее значительных эмитентов финансового рынка». [3] Напри­мер, в США наиболее распространены следующие индексы:

• DJ (индекс Доу-Джонса) – рассчитывается по 30 наиболее зна­чимым корпорациям, например Microsoft, Coca Cola, General Motors и другие;

• индекс S&P 500 (Standard and Poor's) – рассчитывается по 500 наиболее крупным компаниям;

• сводный индекс NYSE – для его расчета используются курсы акций, зарегистрированных на Нью-Йоркской фондовой бирже.

Вполне очевидно, что рыночный индекс в определенной степени отра­жает состояние экономики в целом. Так что рыночная модель показывает, насколько доходность ценной бумаги соответствует экономической динамике страны (или даже сообщества стран).

Случайная величина отражает зависимость доходности ценной бумаги от обстоятельств, специфических именно для ее эмитента. Смысл коэффициентов и в случае рыночной модели рассматривается следующим образом. Доходность рыночного индекса представляет собой усредненную доходность различных ценных бумаг. Если рас­сматривать множество всех ценных бумаг, фигурирующих на рынке, то коэффициент случайно выбранной ценной бумаги представляет собой значение случайной величины. Если данная бумага включена в интересующий нас индекс, то . Если наблюдаемое значение ценной бумаги больше единицы, то ее доходность растет в среднем быст­рее, чем рынок в целом. Такие бумаги называются «агрессивными», бумаги с коэффициентом меньшим единицы называются «оборонительными». Интересно отметить, что на финансовом рынке могут быть также представлены бумаги с нулевым коэффициентом . Такая ситуация характерна, например, для облигаций.

4.2. Модели зависимости от касательного портфеля

Другим фактором, часто используемым в линейных регрес­сионных моделях, является доходность некоторого выделенного портфеля ценных бумаг, который носит название касательного. Пусть на финансовом рынке обращается п ценных бумаг и ка­питал, равный единице, инвестируется в эти бумаги так, что х_i – капитал, инвестируемый в каждую i-ю бумагу. Набор чисел р=x₁,x₂,...,x_п, удовлетворяющий условию х₁,+х₂+…+х_п =1, называется портфелем ценных бумаг. При этом подразумевается, что некоторые числа {x_i} могут быть нуле­выми.

Каждому портфелю р должна соответствовать случайная величина r_р – доходность. Если взглянуть на координатную плоскость, на которой по оси ординат отложить мате­матическое ожидание доходности, a по оси абсцисс – стандартное отклонение доходности, . При этом величина называется риском портфеля. На рис. 4.2.1. каждому портфелю может быть поставлена в соответствие точка на координатной плоскости, а все множество допустимых портфелей представляют собой некоторую двумерную фигуру, назы­ваемую допустимым множеством.

Рис. 4.2.1. Допустимое множество портфелей

Инвестор обычно предпочитает полу­чать большую доходность с наименьшим риском, таким образом, из двух портфелей с одинаковым значением он выберет тот, значе­ние которого меньше. Это значит, что наиболее предпочти­тельному портфелю соответствует точка на границе АВ (см. рис. 4.2.1.). Линия АВ называется эффективным множеством.

Проблема выбора точки эффективного множества решается каждым инвестором индивидуально и, казалось бы, зависит от его склонности к риску (или, наоборот – к избеганию риска). Оказывается, что эффективному множеству принадле­жит точка, которая является выделенной для всех инвесторов.

Предположим, что кроме приобретения ценных бумаг инве­стор имеет возможность безрискового предоставления и получе­ния займов, например, инвестор может иметь возможность покупать госу­дарственные облигации и брать кредит. Можно сделать еще одно предположение, что безрисковое предоставление и получение займов происходит с одной и той же процентной ставкой , которая называется безрисковой ставкой.

Рис 4.2.2. Определение безрискового портфеля

Очевидно, что при наличии возможности безрискового пре­доставления и получения займов допустимое множество расши­ряется, а эффективным множеством становится прямая l.

Портфель, который соответствует точке касания М (рис. 4.2.2), на­зывается касательным портфелем.

Необходимо отметить, что оптимальной для любого инвестора страте­гией оказывается инвестирование части средств в касательный портфель, а части – в безрисковые облигации. Либо наоборот: получение займа для дополнительного инвестирования в каса­тельный портфель.

Разумеется, на практике точное нахождение касательного портфеля невозможно. Но для многих практических целей ока­зывается полезной модель, в которой в качестве фактора выбра­на доходность касательного портфеля, а точнее – разница меж­ду и безрисковой ставкой . Таким образом, модель имеет вид:

где i – номер ценной бумаги.