3.4. Множественный регрессионный анализ

Экономические явления очень часто определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим возникает задача исследования зависимости зависимой переменной Y от нескольких переменных X₁,X₂,…,X_n. Эта задача решается с помощью множественного регрессионного анализа.

Для составления модели множественной регрессии необходимо обозначить i-е наблюдение переменной y_i и объясняющих переменных – x_i1,x_i2,…,x_ip. Тогда модель можно представить в таком виде:

где i=1,2,…,n, а является случайным возмущением.

Если в модель включается много объясняющих переменных, это сильно усложняет получаемые формулы и вычисления. Поэтому целесообразным является использование матричных обозначений. Это облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчётные процедуры.

Можно ввести обозначения: – матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера n.

– матрица значений объясняющих переменных, или матрица плана размера .

Модель в матричной форме записывается следующим образом: . Оценкой этой модели по выборке является уравнение

где .

В случае применения в экономике подобных моделей всегда необходимо учитывать, что все входящие в модель факторы по-разному влияют на результат. Некоторые из них оказывают весьма существенное влияние, другие весьма незначительное. «К числу основных факторов при изучении экономического объекта относят обычно настоящий труд (или трудовые ресурсы в той или иной мере), прошлый труд (энергия, сырьё, материалы, оборудование, здания, сооружения и так далее)».[2] Вместе с тем на экономические системы не могут не влиять и природные условия, поэтому в модели должны быть адекватно отражены и эти факторы.

3.5. Временные ряды

Под временным рядом в экономике понимается последовательность наблюдений некоторой случайной величины X в одинаковые промежутки времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые обозначаются x_t (t=1,2,…,n), где n – число уровней.

В качестве примера временного ряда приведены данные в таблице 3.5.1, отражающие цену и спрос товара за пятилетний период времени.

Таблица 3.5.1.

Год, t	1	2	3	4	5
Цена, xt	492	462	350	317	340
Спрос, yt	213	171	291	309	317

Как видно, в этой таблице рассматриваются два временных ряда: цены товара x_t и спроса y_t на него.

Обычно при исследовании экономического временного ряда x_t выделяют несколько составляющих:

Рассмотрим все составляющие:

• u_t – тренд, плавно меняющаяся компонента, которая описывает влияние долговременных факторов. Например, экономическое развитие, изменение структуры потребления и тому подобное;

• v_t – сезонная компонента. Она показывает повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного промежутка времени. Например, объём продаж товаров в различное время года;

• c_t – циклическая компонента. Она отражает повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов времени. Например, влияние волн экономической активности Кондратьева;

• – случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учёту и регистрации случайных факторов.

Необходимо отметить, что в этой модели случайной является только компонента , в то время как другие являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развитии изучаемого процесса.[3]

Основные этапы анализа временных рядов:

• графическое представление временного ряда, описание его поведения;

• выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);

• сглаживание ряда, то есть удаление низко- или высокочастотных составляющих;

• исследование случайной составляющей временного ряда, построение математической модели для её описания, проверка адекватности;

• прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;

• исследование взаимосвязей между различными временными рядами.

Наиболее часто применяемые методы анализа временных рядов: корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней.

Различают стационарные временные ряды. Отличие этих рядов заключается в том, что с течением времени, их вероятностные свойства не изменяются. Эти ряды применяются, например, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

«Временной ряд называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений такое же, как и n наблюдений при любых n, t и ». [3] То есть, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t.

Очень важной задачей при исследовании экономического временного ряда является выделение основной тенденции изучаемого процесса. Эта тенденция выражается неслучайной составляющей f(t). Для решения этой задачи, прежде всего, необходимо правильно выбрать функцию f(t).

Некоторые виды:

линейная:

полиномиальная:

экспоненциальная:

логистическая:

Гомперца:

Выбор подходящей функции – это очень ответственный этап анализа. Нужно правильно установить характер динамики процесса, использовать визуальные наблюдения.

Для выявления основной тенденции чаще всего используется метод наименьших квадратов. Однако применение этого метода для оценки параметров экспоненциальной, логистической функций или функции Гомперца вызывает сложности, связанные с решением получаемой системы нормальных уравнений. Поэтому ещё до получения соответствующей системы, проводят преобразование функций, например, логарифмирование.

Другим методом выравнивания временного ряда является метод скользящих средних. В его основе лежит переход от начальных значений членов ряда к их среднем значениям на определённом интервале времени. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда. Таким образом, получается новый ряд скользящих средних, поведение которого более гладко, чем у исходного ряда. Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая, как простая, так и с некоторыми весами, медиана и другие методы.

Прогнозирование поведения временного ряда является очень важной задачей. Задача прогнозирования ставится следующим образом: имеется временной ряд y_t (t=1,2,…,n) и необходимо получить прогноз уровня этого ряда на момент . Временной ряд можно рассматривать как регрессионную модель изучаемого признака по переменной «время». Соответственно, к такой модели можно применять все те методы, которые используются при регрессионном анализе. Необходимо также отметить, что возмущения (t=1,2,…,n) в регрессионном анализе есть независимые случайные величины с математическим ожиданием, равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение очень часто оказывается неверным.

Например, если вид функции тренда выбран неудачно, то нельзя говорить о том, что отклонения от неё являются независимыми, можно даже говорить о том, что между ними существует взаимосвязь. Если последовательные значения коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции возмущений. Это может сильно исказить экономическую модель, поэтому с автокорреляцией возмущений необходимо бороться.

Метод наименьших квадратов также даёт состоятельные оценки параметров при автокорреляции возмущений, однако интервальные оценки могут содержать грубые ошибки. Если автокорреляцию возмущений удаётся выявить, то следует выбрать более удачную функцию тренда, пересмотреть набор включённых в него переменных и тому подобное.

Достаточно надёжным и простым критерием по определению автокорреляции возмущений является критерий Дарбина-Уотсона. С его помощью можно узнать о наличии или отсутствии автокорреляции между соседними остаточными членами ряда e_t и e_t-1, где e_t выборочная оценка .

Значения, которые принимает d заключены в границах от 0 до 4. Когда автокорреляция отсутствует ; при полной положительной автокорреляции ; при полной отрицательной – .

Недостатком критерия Дарбина-Уотсона является наличие области неопределённости критерия, а также то, что значения d-статистики адекватны при рассматривании не менее 15 значений.

Как уже было упомянуто временной ряд содержит как детерминированною, так и случайную составляющие. В экономике роль детерминированной составляющей играет, например, результирующий показатель, который может представлять собой объём производства, который обуславливается общей тенденцией экономического роста, научно-техническим прогрессом и затратами экономических ресурсов. На этот результат кроме экономических факторов могут оказывать влияние и природные, поддающиеся предсказанию, факторы.

Что касается случайной составляющей, то она аккумулирует влияние множества не включённых в детерминированную составляющую факторов, каждый из которых оказывает небольшое влияние на результат.

Основной задачей анализа временного ряда в экономике является выделение детерминированной и случайной составляющих, а также оценка их характеристик. Получив эти оценки, можно очень успешно решать задачи прогноза будущих значений, как самого временного ряда, так и его составляющих.

Таким образом, можно сказать, что временные ряды в экономике успешно применяются, например, для прогнозирования экономических процессов (курсы валют, акций, экономического роста, долей спроса и предложения на различны товары и так далее).

3.6. Регрессионные модели

Каждая ценная бумага – акция, облигация, контракт и другие – в каждый момент времени обладает стоимостью, которая назы­вается курсом и устанавливается рынком. Даже обладая полной информации о выпустившем бумагу эмитенте, однозначно определить ее курс в заданный момент времени в будущем, как правило, оказывается невозмож­ным. В этом случае вполне обоснованно можно рассматривать курс цен­ной бумаги как значение случайной величины X.

Рассмотрим X_t – курс ценной бумаги в момент времени t, тогда X_t+1 – курс в момент времени t+1. Теперь рассмотрим величину

.

Она называется доходностью ценной бумаги. Вполне понятно, что значение именно этой величины определяет привлекательность ценной бумаги для инвестора. И одна из главных задач финансового анализа состоит в возможно более точном предсказании значения величины r

Модели, рассматриваемые в финансовом анализе, связывают случайную величину r с величинами, которые могут объективно охарак­теризовать финансовый рынок в целом. Такие величины носят название факторов. В самом простом случае выделяется один фактор. Тогда ста­тистическая модель принимает вид:

где и – постоянные неизвестные параметры, – слу­чайная величина. Коэффициент называется чувствительностью доходности ценной бумаги к фактору F. Коэффициент называется сдвигом.

В классическом регрессионном анализе значения факторов F считаются детерминированными величинами, таким образом, модель можно представить в виде:

В данной модели t=1,2…,n – моменты времени, которые интерпретируются как номер наблюдения; F₁,..., F_n – известные значения факто­ров; r_t – наблюдаемые выборочные значения случайной величи­ны r; и – неизвестные параметры.

3.7. Метод планирования экспериментов

Экспериментальные методы основаны на сопоставлении данных о входных и выходных сигналах изучаемого объекта. Задачей экспериментальных методов является количественная оценка характеристик конкретных объектов управления (ОУ) и проверка соответствия модели реальному объекту.

Процедуру построения оптимальной в определенном смысле математической модели объекта управления по реализациям его входных и выходных сигналов называют идентификацией ОУ.

Наиболее эффективным подходом к анализу и математическому описанию ОУ является сочетание теоретических и экспериментальных методов исследования.