3.3. Регрессионный анализ

В исследовании экономических явлений очень часто имеющиеся данные могут быть как случайными, так и полностью известными, или если регрессия явно не прямая и тому подобное. В этих случаях всегда необходимо определять кривую, которая даёт наилучшее приближение к исходным данным, используя метод наименьших квадратов. Соответствующие методы приближения получили название регрессионного анализа.

Задачами регрессионного анализа являются установление форм зависимости между переменными, оценка функции регрессии, оценка неизвестных значений (прогноз значений) зависимой переменной.

Одним из подходов в регрессионном анализе является парная регрессионная модель.

В её основе рассматривается односторонняя зависимость случайной зависимой переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной X, называемой часто объясняющей переменной. Такая зависимость может быть представлена в виде модельного уравнения регрессии. Также на парную регрессионную модель могут оказывать воздействие некоторые неучтённые случайные факторы. Из-за этого отдельные наблюдения y будут в большей или меньшей степени отклонятся от функции регрессии . В этом случае уравнение взаимосвязи двух переменных может быть представлено в таком виде:

,

где – случайная переменная, которая характеризует отклонение функции от регрессии. Эту переменную также принято называть возмущением.

Таким образом, в регрессионной модели зависимая переменная Y есть некоторая функция с точностью до случайного возмущения .

Возьмём для примера линейную парную регрессионную модель вида:

,

эта модель содержит n пар значений переменных , где i=1,2,…, n. Можно выделить основные предпосылки регрессионного анализа:

1. Зависимая переменная , а также возмущения есть величины случайные, хотя при этом объясняющая переменная – величина неслучайная.

2. Математическое ожидание возмущения равно нулю.

3. Дисперсия зависимой переменной , а также возмущения постоянная для любого i.

4. Переменные и или возмущения соответственно не коррелированны.

5. Зависимая переменная или возмущение есть нормально распределённые случайные величины.

Для того, чтобы получить уравнение регрессии, достаточно использовать первые четыре предпосылки. Выполнение пятой предпосылки необходимо для оценки точности уравнения регрессии и его параметров.

Оценкой вышеприведённой модели является уравнение регрессии . При этом определение неизвестных параметров b₀ и b₁ осуществляется путём использования метода наименьших квадратов. А неучтённые факторы определяются в модели с помощью остаточной дисперсии .

Рассмотреть все соотношения и связи между социально-экономическими явлениями и процессами далеко не всегда удаётся выразить только линейными функциями из-за того, что могут возникать неоправданно грубые ошибки.

Очень важный этап анализа – это выбор вида уравнения регрессии, он носит название спецификации или этапом параметризации модели. Выбор производится на основании опыта предыдущих исследований, литературных источников, других соображений профессионально-теоретического характера, а также визуального наблюдения расположения точек корреляционного поля. Наиболее распространёнными считаются следующие виды уравнений нелинейной регрессии:

полиномиальные: ,

степенные: ,

гиперболические: .

Каждый из них имеет свои границы применения. Например, если исследуется какой-либо экономический показатель y, который зависит от объема продаваемых товаров x. У x есть также два показателя: первый не зависит от x, а второй уменьшается с ростом x. Тогда зависимость y от x можно представить в виде гиперболы . Полиномы же используются, например, если экономический процесс имеет тенденции к постоянному ускорению или замедлению.

В ряде случаев для адекватного описания экономических процессов используются более сложные функции. Например, в начале процесс может развиваться очень быстро, а затем, по достижении определённого уровня, замедляется и приближается к некоторому пределу. В этом случае полезными могут оказаться логистические функции, например .

Очень часто нелинейные связи возникают из-за объединения в одну совокупность объектов, разного качественного уровня. Например, объединение в одну совокупность предприятий различных отраслей, или же очень сильно отличающихся друг от друга по природным условиям. Здесь нелинейные зависимости возникают вследствие объединения разнородных единиц, и регрессионный анализ таких процессов не может быть эффективным. Поэтому любая нелинейность связей должна критически анализироваться.

Расположение точек корреляционного поля очень важно, но по нему далеко не всегда можно принять окончательное решение о виде уравнения регрессии. В этом случае бывает полезно сделать расчёты по двум или нескольким уравнениям. Предпочтение отдаётся уравнению, для которого меньше величина остаточной дисперсии. Однако при небольшом расхождении в остаточных дисперсиях следует выбирать более простые уравнения.

Весьма интересный приём заключается в использовании полинома для идеального приближения к функции. Можно подобрать полином таким образом, что он пройдёт через все вершины регрессии. Однако это может привести к неоправданному усложнению вида искомой функции регрессии, «когда случайные отклонения осреднённых точек неправильно истолковываются как определённые закономерности в поведении кривой регрессии».[3] В связи с этим в практике регрессионного анализа очень редко используются полиномы выше третьей степени.

Достоинства и недостатки регрессионного анализа приведены в таблице 3.3.1.

Таблица 3.3.1

Метод	Достоинства	Недостатки
Регрессионный анализ	1. Простота вычислительных алгоритмов. 2. Наглядность и интерпретируемость результатов (для линейной модели).	1. Невысокая точность прогноза (в основном - интерполяция данных). 2. Частое нарушение основных предпосылок корректности метода. 3. Субъективный характер выбора вида конкретной зависимости (формальная подгонка модели под эмпирический материал). 4. Отсутствие объяснительной функции (невозможность объяснения причинно-следственной связи).