3.1. Случайные процессы

«Случайным процессом называется семейство случайных величин , заданных на вероятностном пространстве , где T – некоторое множество значений параметра».

Параметр t обычно обозначает время. Если этот параметр принимает дискретные значения (например, е=0,2,…), то X(t) – процесс с дискретным временем (случайная последовательность), если же t изменятся на некотором интервале, то X(t) - процесс с непрерывным временем. Таким образом, если случайные величины семейства принимают дискретные значения, то имеет место процесс с дискретными значениями, если же непрерывные – то с непрерывными значениями.

Пусть существует какая-либо физическая система S, которая с течением времени меняет своё состояние случайным образом. Тогда мы можем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.

Под «физической системой» можно понимать, например, какое-либо техническое устройство, целую группу таких устройств, отрасль промышленности, уровень инфляции и тому подобное. Большинству процессов, протекающих в окружающей нас жизни, свойственны, в той или иной мере, черты случайности, неопределённости.

Можно привести несколько примеров: космический корабль, который выводится на заданную орбиту. Этот процесс неизбежно сопровождается случайными ошибками, например, отклонение от заданного курса, который необходимо корректировать уже в процессе полёта. Или осуществление перевозок грузов между предприятиями. Процесс перевозок не застрахован от таких случайных явлений, как поломки транспорта, аварии, перемены погоды.

Гораздо сложнее выделить такой процесс, который полностью лишён случайностей. Даже такой процесс, как ход часов, не является неслучайным, так как возможны, например, уход их вперёд, отставание, остановка.

Таким образом, можно сделать вывод, что всем процессам в природе присущи случайные возмущения. На некоторые процесс она оказывают столь малое влияние, что ими можно пренебречь. Необходимость учёта случайностей возникает тогда, когда они прямо касаются нашей заинтересованности.

3.2. Марковские случайные процессы и варианты их практического применения

«Случайный процесс, протекающий в системе, называется Марковским, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние». [3]

В исследовании операций также большое значение имеют Марковские случайные процессы с дискретным состоянием и непрерывным временем. При этом его элементы могут принимать различные состояния S₁,S₂,…,S_m, и переход системы из одного состояния в другое происходит «скачком», практически мгновенно, а моменты возможных переходов этих состояний случайны, так что переход может осуществиться в любой момент времени.

Пример такого процесса: техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в любой момент времени может выйти из строя, отказать. Когда происходит отказ устройства, то сразу же начинается его ремонт. Таким образом, всего возможно четыре состояния такой системы: S₁ – оба узла исправны, S₂ – первый узел ремонтируется, второй исправен, S₃ – второй узел ремонтируется, первый исправен, S₄ – оба узла ремонтируются. При этом переход системы S из состояния в состояние происходит практически мгновенно.

Рассмотрим теперь случайный процесс с дискретным временем и дискретными значениями S₁,S₂,…,S_m, в которых находится элемент процесса. Например, каждый работник предприятия может находиться в одном из следующих состояний: S₁ – работает, S₂ – в командировке, S₃ – в отпуске, S₄ – болен.

В данном случае можно говорить о случайном процессе X(t), в котором X(t) принимает значения того состояния, в котором элемент процесса находится в момент времени t. Рассмотрим моменты t₁,t₂,…t_i,…; X_i=X(t_i) и X_i принимает значения S₁,S₂,…,S_m.

«Простейшим обобщением этого процесса с независимыми значениями является Марковский процесс, для которого

то есть вероятность попасть в состояние в момент зависит не от всего прошлого, а лишь от состояния в котором процесс был в предыдущий момент времени ».[3] Мы также можем получить матрицу P с элементами p_ij, которые являются вероятностями перехода из состояния i в состояние j.

Рассмотрим экономический пример цепи Маркова с конечным множеством состояний. Для некоторых экономических задач (например, энергетики) необходимо знать чередование годов с определёнными значениями годовых стоков рек. Абсолютно точно это чередование определить нельзя. Для определения чередования вероятностей необходимо разделить элементы процесса, введя четыре возможных состояния: первое, второе, третье и четвертое. В результате накопления влаги будем для определённости считать, что за первым состоянием никогда не может следовать четвёртое и наоборот. Допустим, что остальные переходы возможны, тогда:

• из первого состояния можно попасть во вторую и третью градации вдвое чаще, чем в первую и нельзя попасть в четвертую. Вероятности переходов равны

• из четвёртого состояния переходы во второе и третье состояние бывают в четыре и в пять раз чаще, чем возвращение в четвёртое состояние, значит

• из второго состояния переход может быть только реже: в первое – в два раза, в третью – на 25%, в четвёртую – в четыре раза, чем переход во вторую, следовательно

• из третьего состояния переход во второе состояние столь же вероятен, как и возвращение в третье состояние, а переходы в первое и четвертое состояние бывают в четыре раза реже, поэтому:

Таким образом, можно получить матрицу вероятностей переходов для стоков реки:

Если цепь Маркова имеет m состояний, то её строки представляют собой m распределений вероятностей. Для однородных цепей Маркова матрицы вероятности переходов не зависят от времени.

Свойства переходных матриц: все их элементы неотрицательны, и суммы по строкам равны единице. Иногда матрицы с такими свойствами называют стохастическими. С помощью матриц переходов можно вычислять вероятность любой траектории элемента случайного процесса, представляющего собой цепь Маркова.

Для современной экономики математическое моделирование, как дисциплина, очень популярна. Например, используя математическое моделирование можно осуществить проектирование, внедрение и сопровождение финансовых инноваций: новых финансовых стратегий, инструментов и процессов. Так, путём применяя математического аппарата исследования операций, разработана технология управления портфелем ценных бумаг в динамике. Существует предположение, что изменение цен на бумаги от сессии к сессии описывается в виде Марковского процесса с дискретным временем и заданной глубиной памяти.

При реализации этой технологии были получены очень неплохие результату. Практические расчёты проводились в течение одного года на примере государственных краткосрочных облигаций (ГКО). Доходность этих бумаг, таким образом, составила в среднем 14% за год при 8.5% у портфеля в среднем по рынку.

Что касается возможности применения данной конструкции на других рынках, то все определяется конкретной спецификой того или иного сегмента рынка.