4.3. Равновесные, неравновесные и многофакторные модели

Вполне очевидно, что доходности ценных бумаг, которые обращающихся на рынке, можно рассматривать в зависимости от времени. При этом будут зависеть от времени числовые характеристики слу­чайной величины .

Модель финансового рынка называется равновесной, если чи­словые характеристики входящих в нее случайных величин по­стоянны во времени. Но это может быть лишь тогда, когда рынок является «устоявшимся», сбаланси­рованным. В этом случае можно получить некоторые конкрет­ные результаты, существенно упрощающие ситуацию.

Можно рассмотреть модель зависимости доходности ценной бумаги от доходности касательного портфеля. «Если модель рав­новесная, т.е. рынок сбалансированный, то касательный портфель удовлетворяет следующему свойству: доля каждой ценной бумаги в нем соответствует ее относительной рыночной стоимости» [5]. Такой портфель называется рыночным. Та­ким образом, рассматривая равновесные модели, необходимо ото­ждествлять понятия касательного и рыночного портфеля, доход­ность которого обозначается . Итак, модель для i-й ценной бумаги имеет вид:

Помимо равновесных моделей существуют ещё и неравновесные модели финансового рынка. Такие модели применяются в среде несбалансированного рынка.

Однофакторные модели во многих случаях являются вполне адекватными, однако они часто оказываются слишком уп­рошенными и тогда приходится рассматривать зависимость до­ходности ценной бумаги от нескольких факторов. В этом случае линейная регрессионная модель принимает вид:

где – параметры, – факторы, определяющие состояние рынка (i – номер наблюдения).

Такими факторами могут быть, например, уровень инфля­ции, темпы прироста валового внутреннего продукта и другие. Если данная ценная бумага относится к какому-то конкретному сектору экономи­ки, то, безусловно, следует рассматривать факторы, специфиче­ские для данного сектора.

Следует стремиться к возможно меньшему количеству объ­ясняющих переменных (факторов), поскольку кроме усложне­ния модели «лишние» факторы могут привести к увеличению ошибок оценок. Однако в реальных ситуациях порой приходится рассматри­вать модели зависимости от десятков и даже сотен факторов.

В 70-х годах в США специалисты по эконометрике Барр Розенберг и Виней Марат сформулировали сложную многофактор­ную модель, связывавшую доходность акций с множеством фак­торов, полученных из данных по деловым операциям соответст­вующих компаний. В дальнейшем Розенберг основал фирму, которая теперь называется BARRA, с целью развития модели и ее продажи институциональным инвесторам. Основная модель BARRA учитывает 68 основных факторов. В настоящее время BARRA выросла во всемирную консалтинговую организацию с ежегодным доходом более 40 миллионов долларов.

4.4. Метод Монте-Карло

В условиях нестабильной экономической обстановки грамотное прогнозирование будущих денежных потоков, финансовых результатов, рыночных переменных является залогом эффективного управления предприятием.

Одним из наиболее популярных методов прогнозирования является метод симуляций Монте-Карло (MCS-метод). С его помощью можно получать генерированные псевдослучайным образом цены активов в соответствии с заданными параметрами распределения – например математическим ожиданием М и среднеквадратическим отклонением . Монте-Карло позволяет имитировать любое распределение. Так как оценки риска методом Монте-Карло практически всегда производятся программными средствами, это позволяет использовать модели практически любой сложности.

Помимо этих преимуществ, большинство известных специалистов отмечают среди достоинств метода Монте-Карло высокую точность расчетов, отличную пригодность к нелинейным инструментам и возможность моделирования сложного поведения рынков, скачков и прочее.

Основными недостатками метода Монте-Карло являются сложность расчета модели, зависимость от уровня моделирования (модельный риск, псевдослучайность генерируемых «случайных» величин). Конечно, современные вычислительные машины, собранные на базе таких процессоров, как последние модификации Intel Pentium 4 позволяют существенно сократить время расчётов.

Основными этапами моделирования по методу Монте-Карло являются:

• определение вероятностной модели для генерации рискообразующих факторов;

• генерация однородных случайных чисел и их трансформация по соответствующему многомерному распределению;

• генерация сценариев изменения рискообразующих факторов и оценка стоимости портфеля активов;

• получение меры риска и интерпретация полученных результатов.

Наиболее часто в качестве вероятностной модели для генерации рискообразующих факторов используются модель геометрического броуновского движения и экспоненциальная модель. Согласно первой, цена актива рассчитывается по следующей формуле:

,

где  – симулируемая цена актива на шаге t, – смещение, – результат броуновского процесса на шаге t (где  – нормально распределенная величина).

Таким образом, относительное изменение цены актива задается двумя параметрами: детерминированной составляющей  (например, математическим ожиданием цены актива) и стохастической составляющей .

Согласно второй модели цена актива симулируется исходя их следующего правила:

,

где Y – нормально распределенная случайная величина.

Необходимо отметить, что на втором этапе при генерации случайных величин обычно возникает ряд проблем. Первой из них является псевдослучайность «случайных» чисел. Дело в том, генератор случайных чисел в реальности работает по определенному алгоритму, и в реальности полученные числа являются детерминированными и зависят от начального числа.

Естественно используются различные методики получения случайных чисел. Так, А. Фишман предложил пользоваться линейно-конгруэнтным генератором (linear-congruential generator), период повторения которого составляет около 2 млрд. чисел, Также существует алгоритм Лекьера с периодом повторения  чисел.

Трансформация полученного случайного числа в величину, подчиняющуюся закону нормального распределения осуществляется согласно формуле Бокса-Мюллера:

,

где  – псевдослучайная величина, .

Второй проблемой является необходимость учета корреляции между рискообразующими факторами в случае использования метода Монте-Карло для многофакторного процесса. В этом случае, чтобы учесть корреляцию между генерируемыми факторами P_i и P_j необходимо обеспечить корреляцию случайных величин  и .

Для этого обычно специалистами может быть использовано несколько методов. Наиболее популярной является факторизация по Холецкому, «суть которой заключается в декомпозиции корреляционной матрицы на матрицы, называемые факторами Холецкого и использовании их для вычисления случайных величин  и  . При этом количество факторов должно быть подобрано так, чтобы в результате получилась положительно определенная матрица». [6]

На третьем этапе производится вычисление симулируемых рискообразующих факторов. Обыкновенно период T разбивается на n шагов. Чем больше просчитывается таких шагов, тем соответственно больше повышается точность расчетов. На каждом шаге симулируется фактор (например, цена) P_t (t=1,..,n), и в итоге можно получить траекторию цены на актив за период T. Каждая траектория представляет собой сценарий, по которому, исходя из базовой цены, P₀ определяется цена на последнем шаге.

Далее, на основании полученных сценариев, необходимо произвести оценку общей стоимости портфеля активов. Так, например, если генерировалось 500 сценариев, то итогом будут являться 500 оценок стоимости портфеля.

Основной проблемой третьего этапа является ограниченность во времени, потраченном на генерацию сценариев.

На четвертом этапе производится расчет меры риска и ее интерпретация. В данном случае используется «квантильный» критерий – в соответствии с желаемым доверительным уровнем риск-менеджер определяет искомую меру риска (в данном случае VaR). В том случае, если вместо портфеля активов исследуются финансовые потоки или доходы, искомой мерой риска будут, соответственно, CFaR и EaR.

Существует ряд модификаций метода Монте-Карло. В некоторых из них метод корректируется для анализа динамики факторов на больших промежутках времени. Так, в концепции LongRun от RiskMetrics Group применяются два типа методов симуляции Монте-Карло, соответствующих горизонту анализа (до двух лет). Симуляция уровня 1 ориентирована на генерацию относительно небольшого количества значений, например, ежемесячных значений факторов, отталкиваясь от исторических данных и заданных параметров распределения. Наличие данных уровня 1 позволяет перейти к симуляции уровня 2, на котором генерируются псевдослучайные числа таким образом, чтобы они совпадали со значениями уровня 1. Таким образом, псевдослучайные числа уровня 2 «заполняют пробелы» между данными, полученными из симуляции уровня 1. Если в первом случае в основе лежит разработка реальной ковариационной матрицы, то во втором случае используются броуновские процессы.

Другие модификации, использующие, например, методы снижения дисперсии позволяют снизить объемы вычислений благодаря уменьшению количества генераций, необходимых для обеспечения надлежащей точности прогноза.

«В рамках упрощения вычислений особый интерес вызывает метод псевдо-Монте-Карло, основанный на использовании LDS-последовательностей». Суть этой технологии заключается в том, что точки в пространстве значений рискообразующих факторов выбираются не хаотично, а более равномерно, что ведет, при заданном уровне точности, к значительному снижению количества генерируемых сценариев по сравнению с классическим методом Монте-Карло. Так, по результатам исследований, проведенных А. Крейнином, Л. Мерколовичем и другими, при доверительном уровне 95% и уровне ошибки в 2% метод псевдо-Монте-Карло производит расчеты VaR в 6,7 раза быстрее. Однако с понижением доверительного уровня или же с ростом уровня ошибки превосходство метода значительно снижается. И наоборот, с повышением этих параметров временное превосходство метода резко возрастает при соответственном качестве оценки.

Таким образом, можно сделать вывод, что использование метода симуляций Монте-Карло помогает эффективно моделировать различные экономические процессы, получать тонные и адекватные результату и успешно применять их на практике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время существует тенденция, которая ведёт к постоянному накоплению знаний, совершению всё новых научных открытий. Это ведёт к усложнению экономических процессов, которые становятся более взаимосвязанными. Любое случайное явление от поломок оборудования до крупных финансовых кризисов может серьёзно повлиять на характер экономических процессов, а тем самым и на экономику любого уровня.

Вероятностно-статистическое моделирование позволяет узнать о подобных событиях заранее, грамотно учесть их, чтобы в момент их появления оказаться способными принимать правильные решения, не допуская просчётов и ошибок.

В курсовой работе мы рассмотрели основные направления вероятностно-статистического моделирования, показали, как с помощью, например, регрессионного анализа можно осуществлять управление инвестиционным портфелем на фондовом рынке и как с помощью метода статистического моделирования Монте-Карло можно смоделировать условия такого сложного поведения фондового рынка, как, например, скачков курсов валют, акций и т.д. Это может позволить предприятиям, работающим в финансовой сфере, а также инвесторам грамотно распределять свои ресурсы с целью получение прибыли.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Теория вероятностей и прикладная статистика. М.: Юнити-Дана, 2001.

2. Елисеева И.И., Теория статистики с основами теории вероятностей. М.: Юнити-Дана, 2001.

3. Кремер Н.Ш., Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Юнити-Дана, 2000.

4. Советов М.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебное пособие для вузов – М.: Высш. шк., 1985.

5. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования.-М.: Финансы и статистика, 1977.

6. http://www.hedging.ru/.