3.8.2. Решение транспортной задачи

Транспортная задача – это задача о минимизации расходов на перевозку грузов. Классическая транспортная задача формулируется следующим образом.

Имеется некоторое количество (m) пунктов отправления:

A₁, A₂, …, A_m (5.52)

в котором сосредоточены запасы какого-либо однородного товара в количествах

a₁, a₂, …, a_m (5.53)

Имеется также n пунктов назначения:

B₁, B₂, …, B_n (5.54)

подавших заявки определенное количество товара соответственно:

b₁, b₂, …, b_n (5.55)

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов

. (5.56)

Стоимость перевозки товара из пункта отправления i в пункт назначения j известна для всех вариантов перевозок и равна с_ij­. Таким образом имеется матрица стоимостей перевозок:

. (5.57)

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки были бы выполнены, и при этом общая стоимость перевозок была бы минимальна.

Так как показателем эффективности является стоимость перевозок, то данную задачу можно назвать транспортной задачей по критерию стоимости.

Рассмотрим математическую формулировку задачи.

Введем некоторые обозначения:

x_ij – количество груза, отправляемого из i-го пункта отправления А_i в j-й пункт назначения B_j (i = 1, …, n; j = 1, …, m). Переменные x₁₁, x₁₂, …, x_mn должны быть неотрицательны и должны удовлетворять следующим условиям:

1. Общее количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте.

(5.58)

2. Суммарное количество груза, доставляемого в каждый пункт назначения изо всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом.

(5.59)

3. Стоимость всех перевозок должна быть минимальной.

Методы решения транспортной задачи не требуют манипуляций с симплекс-таблицами, а сводятся к более простым операциям непосредственно с таблицей, где в определенном порядке записаны все условия транспортной задачи.

В транспортной таблице записываются:

• пункты отправления (заголовки строк) и назначения (заголовки столбцов);

• запасы, имеющиеся в пунктах отправления (последний столбец таблицы);

• заявки, поданные пунктами назначения (последняя строка таблицы);

• стоимости перевозок из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения (табличная часть).

		Пункты назначения
		B1	B2	…..	Bn	Запасы аi
Пункты отправления	A1	C11	C12	…..	C1n	a1
	A2	C21	C22	…..	C2n	a2
	. .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
	An	Cm1	Cm2	. . .	Cmn	am
	Заявки bi	b1	b2	. . .	bn

Для решения транспортной задачи используется надстройка «Поиск решения» (Сервис  Надстройки  Поиск решения). Перед использованием механизма поиска решения необходимо ввести исходные данные и расположить их на листе соответствующим образом. Рассмотрим процесс решения транспортной задачи на примере.

Пример решения

Предположим необходимо организовать поставки товаров в какой-то город N. В городе N существует спрос на следующие товары:

Наименование товара	Спрос, ед.
Товар1	500
Товар2	600
Товар3	500
Товар4	5 000
Товар5	10 000

Товары находятся в разных городах на разных оптовых базах. Запасы товаров на складах в различных городах представлены ниже в таблице.

ЗАПАСЫ ТОВАРОВ НА СКЛАДАХ, ед.

Наименование товара	Ростов	Москва	Ставрополь	Краснодар
Товар1	500	200	400	200
Товар2	600	2 500	2 000	2 300
Товар3	1 000	6 000	200	2 000
Товар4	2 000	2 500	200	2 356
Товар5	3 600	25 000	2 355	222

Известна также стоимость доставки единицы товара в денежных единицах из других городов в город N.

Стоимость доставки товаров в город N из других городов, ден. ед.

Наименование товара	Ростов	Москва	Ставрополь	Краснодар
Товар1	2	4	2	2
Товар2	20	50	30	23
Товар3	40	80	60	30
Товар4	1	4	2	1
Товар5	225	500	150	600

Требуется составить такой план закупки продукции, чтобы суммарная стоимость доставки товаров была бы минимальной, при условии полного удовлетворения спроса на товары в городе N.

Таким образом требуется вычислить «какой товар, где и в каком количестве необходимо приобрести», чтобы суммарные транспортные расходы были бы минимальными.

Задача решается в следующей последовательности:

1. Создается книга Excel и на чистом листе создается рабочая форма (см. рис. ниже).

Область ячеек, отмеченная на рисунке серым цветом, предназначена для размещения результатов расчета – найденных значений объемов перевозок из каждого пункта отправления.

2. Введите формулы в соответствующие ячейки.

Ячейки с F22 по F26 должны содержать суммарный объем перевозок по каждому товару, т.е.:

F22 = СУММ(B22:E22)

F23 = СУММ(B23:E23)

F24 = СУММ(B24:E24)

F25 = СУММ(B25:E25)

F26 = СУММ(B26:E26)

Рис. Создание рабочей формы

Ячейки с B27 по E27 должны содержать суммарный объем перевозок из каждого пункта отправления (т.е. из каждого города). Следовательно, должны содержать формулы

B27 = СУММ(B22:B26)

C27 = СУММ(C22:C26)

D27 = СУММ(D22:D26)

E27 = СУММ(E22:E26)

Т.к. в рассчитываемом плане перевозок объем перевозок по каждому товару не может превышать суммарного имеющегося на складах количества, то необходимо рассчитать предельные величины объемов перевозок по каждому товару. Для того, чтобы определить предельный объем перевозок по товару «Товар1» просуммируем значения ячеек B4:E4:

H22 = СУММ(B4:E4)

Соответственно для других товаров:

H23 = СУММ(B5:E5)

H24 = СУММ(B6:E6)

H25 = СУММ(B7:E7)

H26 = СУММ(B8:E8)

Для обеспечения читаемости формы и ее результатов введем текст «<=» в каждую ячейку диапазона G23:G26:

G23 <=

G24 <=

G25 <=

G26 <=

Т.к. необходимо спланировать такой объем перевозок, чтобы спрос на рынке был удовлетворен, то заполним другое ограничение на поиск решения – ограничение по спросу на товары в пункте назначения. Для обеспечения читаемости формы введем «=» в каждую ячейку диапазона I22:I26.

Определим формулу для функции цели. Функцией цели в данном случае является суммарная стоимость перевозок. Стоимость перевозки товара из пункта отправления в пункт назначения равна произведению стоимости перевозки единицы груза по данному маршруту на объем перевозки.

Таким образом, необходимо вычислить сумму произведений ячеек диапазона B13:E17 (стоимости перевозок) на соответствующие ячейки диапазона B22:E26 (объемы производства).

Следовательно, в ячейке B29 (целевая функция) необходимо ввести формулу для расчета целевой функции:

B29 = СУММПРОИЗВ(B13:E17;B22:E26)

Теперь необходимо ввести исходные данные в соответствующие области формы как это показано на рисунке выше. После ввода данных получим форму, готовую для поиска решения транспортной задачи.

Рис. Форма, заполненная для решения транспортной задачи.

3. Поиск решения. Запускается процесс поиска решения (Сервис  Поиск решения…)

Более подробно диалог «Поиск решения» рассмотрен в предыдущей работе.

В диалоге, показанном на рисунке, необходимо:

• в поле «Установить целевую ячейку» указать абсолютную ссылку или имя ячейки, содержащей целевую функцию (в данном примере - $B$29);

• установить переключатель «Равной»: минимальному значению для минимизации целевой функции;

• в поле «Изменяя ячейки» установить ссылку на диапазон ячеек, значения которых будут изменяться при оптимизации целевой функции (в данном примере - $B$22:$E$26).

• определить граничные условия в секции «Ограничения».

Для проведения расчета необходимо задать необходимые ограничения.

Первое ограничение:

Объем перевозок товара не может быть больше имеющегося в данный момент на складах количества данного товара. Следовательно, значения ячеек диапазона F22:F26 должны быть меньше или равны значениям соответствующих ячеек диапазона H22:H26.

Для определения граничных условий, как это уже было рассмотрено в предыдущей работе необходимо воспользоваться кнопкой «Добавить» диалога «Поиск решения». Введем необходимое ограничение: объем перевозок по каждому товару не должен превышать имеющегося на складах количества данного товара.

После ввода ограничения на поиск решения нажмите «Добавить».

Второе ограничение

Объем перевозок товара должен полностью удовлетворить спрос на товар в пункте назначения. Т.е. объем перевозок должен быть равен спросу на данный товар, чтобы полностью удовлетворить потребность в данном товаре. Таким образом, значения ячеек диапазона F22:F26 должны быть равны соответствующим ячейкам диапазона J22:J26.

Следовательно, второе ограничение будет выглядеть следующим образом:

Нажмите «Добавить».

Третье ограничение

Объем перевозок по каждому товару должен быть больше или равен нулю:

Нажмите «Добавить».

Четвертое ограничение

Объем перевозки по каждому товару из каждого пункта отправления не должен превышать имеющегося в данном пункте отправления запаса данного товара. В противном случае получилось бы что можно увести со склада больше, чем на нем есть, что невозможно. Следовательно, значения ячеек диапазона B22:E26 (объемы перевозок) должны быть меньше или равными значениям соответствующих ячеек диапазона B4:E8 (остатки товаров на складах). Условие в диалоге добавления ограничения должно выглядеть следующим образом:

Нажмите ОК для завершения ввода ограничений. Получим следующий вид диалога «Поиск решения».

• настраиваются параметры поиска решения:

нажмите кнопку Параметры. В появившемся диалоге «Параметры поиска решения» необходимо установить следующие параметры: Линейная модель, «Оценки»: линейная, «Разности»: прямые, «Метод поиска»: Ньютона.

После этого необходимо нажать OK для возвращения в основной диалог «Поиск решения».

- запускается процедура выполнение расчета: нажмите кнопку «Выполнить».

В результате система произведет поиск решения транспортной задачи в соответствии с настройками диалога «Поиск решения» и имеющимися входными данными и заданными ограничениями.

Если при текущих исходных данных, заданных ограничениях или параметрах настройки расчета решение найти не удается, то на экран будет выведено соответствующее сообщение. В этом случае необходимо либо изменить исходные данные, либо изменить введенные условия-ограничения, либо изменить параметры диалога «Поиск решения». Наиболее часто причиной невозможности найти решение являются неправильно заданные ограничения. Если решение найдено, пользователь увидит следующий диалог:

Нажмите ОК. Результаты проведенной операции будут представлены в форме, приведенной на рисунке ниже.

Из рисунка видно, что получен оптимальный по стоимости план перевозок в заданной системе ограничений. При этом, спрос на товары в пункте назначения полностью удовлетворен. Полученный результат позволяет сделать вывод, что «Товар1» и «Товар2» необходимо вести только из Ростова, «Товар3» - только из Краснодара, «Товар4» - в определенных количествах из каждого города, «Товар5» - в установленных количествах из пунктов Ростова, Москвы и Ставрополя.