3. Вычисление гравитационного потенциала

Фигура Земли с учетом данных Добрецова Н.Л.[3] о распределении плотности.

Пусть (к=1,2,…n)-поверхность раздела слоев с разной плотностью , –свободная поверхность Земли. ( Рисунок 1)

Рисунок 1- Слоистая структура Земли.

Гравитационный потенциал с учетом инерции вращения вокруг оси Z c угловой скоростью ω равен:

. (3.1)

Здесь

, Z=X₃, .

Вектор силы ускорения свободного падения F=∇U,

Уравнение Свободной поверхности раздела: =0,

Сделаем замену переменных интегрирования и подставим в (3.1),

, (3.2)

. (3.3)

Для кусочно-постоянного распределения плотности

. (3.4)

где -вектор внешней нормали к , -Функция Дирака на , -скачок плотности. Эта формула вытекает из геометрического смысла градиента – направление наибольшего роста функции (при наличии производных, а в данном случае направление градиента получается предельным переходом с помощью последовательности сглаженных функций). Подставим (3.4) в (3.3).

Таким образом

. (3.5)  

4. Численная реализация

В плоскости (q,z):

Рисунок 2- Элемент границы раздела.

, (4.1)

. (4.2)

В пространственных осях

, (4.3)

Распишем (4.3)

, (4.4)

При

. (4.5)

Введем интегралы:

, (4.6)

, (4.7)

, (4.8)

Тогда получим:

, (4.9)

. (4.10)

Уравнение границы разделения имеет вид:

. (4.11)

Рисунок 3- Полярная Сетка.

Аппроксимация на полярной сетке уравнение (4.11):

, (4.12)

, (4.13)

. (4.14)

Вставим в формулу (4.12) значения из (4.13) и (4.14), а затем выразим R.

. (4.15)

Для того, чтобы вычислить интегралы в формулах (4.9)-(4.10), рассмотрим эллиптический интегралы:

, (4.16)

(4.16)-эллиптический интеграл первого рода,

, (4.17)

(4.17)-эллиптический интеграл второго рода,

, (4.18)

.

Здесь . Получим:

,

(4.19)

,

Разложим подынтегральное выражение на простые дроби:

,

(4.21)

, , , ,

. (4.22)

Для вычисления интегралов использовалась следующая формула Гаусса с двумя узлами:

, (4.23)

. (4.24)

Входящие сюда коэффициенты определяются из условия совпадения точных и приближенных совпадений интегралов от степенных функций в соответствии с таблицей 7.

Таблица 7.

Точна для многочленов третей степени , , ,

. (4.23)