Раздел 1 Представление информации в вычислительных системах

Тема 1.1 Системы счисления

Чтобы сделать компьютеры более надежными и простыми, в них применяют схемы, которые могут находиться только в двух состояниях; одно из них обозначается 0, а другое — 1. С помощью комбинаций из нескольких 0 и 1 можно представить любое число различных объектов. Комбинация, состоящая из одного 0 или одной 1, называется битом. В общем случае n бит могут представлять 2" различных объектов и добавление еще одного бита удваивает число возможных комбинаций.

В компьютерах цепочки бит представляют собой числа, буквы, знаки пунктуации и любую другую информацию. Числа ассоциируются с двоичными комбинациями в соответствии с числовыми форматами. Имеются три основных формата:

• двоичный (или целый);

• плавающая точка (или вещественный);

• двоично-кодированный десятичный (BCD или десятичный).

Форматы целого и плавающей точки соответствуют типам целых и вещественных чисел, которые применяют в Фортране и других языках высокого уровня.

Символьный код устанавливает соответствие букв и других символов двоичным комбинациям. Так как символьные коды включают в себя соответствия двоичных комбинаций десятичным цифрам, эти коды можно использовать для хранения и обработки чисел. (В языках высокого уровня символьные цепочки представляются символьными кодами.) Рассмотрим числовые форматы и символьные коды несколько подробнее.

Двоичный формат

Числа являются абстрактными объектами, которые обозначаются с помощью разнообразных правил и значков. Неотрицательные целые числа обычно представляются путем выбора числа x , называемого основанием, и a различных значков, называемых цифрами, и записи цепочки цифр вида

а _na_n-1..a₁a₀.

.

Эта цепочка обозначает число

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀.

Если, например, основание равно 10, цепочка 65308 представляет собой число

6*10⁴ + 5*10³ + 3*10² + 0*10 + 8.

Хотя мы обычно пользуемся основанием 10, им может быть любое целое число, большее 1. Так как компьютеры построены из схем с двумя состояниями, в них применяется основание 2. Тогда цепочка 10110 обозначает число

1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹+ 0*2⁰

В общении с компьютерами часто встречаются основания 8 и 16. Системы счисления, соответствующие основаниям 2, 8, 10 и 16, называются соответственно двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системами счисления. Значки, обозначающие в этих системах счисления цифры, приведены в табл. Обычно основание системы (если оно не очевидно из контекста) обозначается индексом, например 1110₂ (двоичное число четырнадцать) или 1110₁₀ (десятичное число тысяча сто десять).

Таблица перевода

10D	2B	8O	16H
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

• Преобразование числа из системы счисления с основанием x в десятичную систему заключается в вычислении цифр d_i, из соотношения

а_n хⁿ +a_n-1 x^n-1 +...+a₁x+a₀=d_m* 10^m+...+d₁*10+d₀

при заданных a_i. Наиболее просто это осуществить, если представить x и a_i в виде десятичных чисел и выполнить требуемые арифметические операции, например:

10111011₂ =l*2⁷ + 0*2^б + l*2⁵ + l*2⁴ + l*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰=128+0+32+16+8+0+2+1= 187₁₀

и

51A₁₆=5*16² + 1*16¹ + 10*16⁰= 5*256 + 1*16 + 10*1=1306₁₀.

Такие же преобразования можно выполнить по правилу Горнера:

a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 +...+a₁x+a₀ =(...(a_nx+a_n-1)x...)x+a₀.

С помощью правила Горнера и последовательных делений на х десятичное число можно преобразовать в систему счисления с основанием х.

Преобразование двоичного числа в 16-ричное осуществляется путем объединения двоичных цифр в группы по 4 и замены каждой группы ее 16-ричным эквивалентом, например

0110 1011 0111

6 B 7

Обратное преобразование заключается в замене каждой 16-ричной цифры ее двоичным эквивалентом:

А 1 9

1010 0001 1001

Преобразование двоичного числа в 8-ричное и обратное ему выполняют аналогично, но каждая группа содержит 3 двоичных цифры, а не 4.

Хотя сами компьютеры работают только с двоичными числами, в фирменных руководствах и книгах для записи чисел широко применяются 8-и 16-ричная системы счисления. Объясняется это более коротким представлением двоичных чисел, например 16-битное двоичное число 1011010100111010 имеет 16-ричное представление В53А. Мы будем широко пользоваться представлением чисел в 16-ричной системе счисления.

Арифметические операции в любой системе счисления выполняются по тем же алгоритмам, что и в десятичной системе. Однако, не зная таблиц 8- и 16-ричного сложения и умножения, трудно выполнять соответствующие арифметические операции. При необходимости операнды преобразуются в десятичные числа, над ними выполняется операция, а результат преобразуется в исходную систему счисления.