2.3 Використання узагальненої функції Хевісайда для побудови епюри поздовжньої сили

Введемо до розгляду деяку функцію:

(2.1)

її графік:

Нехай стрижень навантажено як на рисунку 2.12.

Рисунок 2.12

Поздовжня сила N(x) – це функція положення (координати х) на осі х стрижня.

Штриховими лініями показано «антинавантаження», яке треба вводити у розгляд з того перерізу, де закінчується реальне рівномірно-розподілене навантаження аж до кінця стрижня (рис. 2.13).

Рисунок 2.13

Підставляючи у вираз N(х) значення х обраховуємо значення поздовжньої сили N(x).

Особливості: для перерізу, де прикладено зосереджену силу, наприклад у перерізі х=а, треба підставити у вираз для N(х) два значення х:

до перерізу – (х=а^–). Тоді Н(х–а)=Н(а^––а)=0;

після перерізу – (х=а⁺). Тоді Н(х–а)=Н(а⁺–а)=1;

це не стосується початку та кінця стрижня.

Приклад: Розглянемо попередній приклад (рис.2.14):

Рисунок 2.14

Розв'язання. Щоб не шукати реакції у закріпленні, покладемо початок осі х на вільному кінці стрижня і напрямимо її вліво. Тоді після введення “антинавантаження” маємо:

Будуємо епюру (див рис.2.14).

2.4. Урахування власної ваги стрижня при побудові епюри поздовжніх сил

Приклад: Побудувати епюри поздовжніх сил N для стрижня, що закріплено зверху з урахуванням власної ваги (рис. 2.15). Густина матеріалу .

Розв'язання. : Вісь х напрямляємо до закріплення. Виразимо густину матеріалу у Н/м³: =7800∙10 Н/м³=78∙10⁴ Н/м³. Власну вагу враховуємо через рівномірно розподілені навантаження q₁ та q₂ на відповідних ділянках:

Рисунок 2.15

Складаємо функції N(x) на ділянках:

0≤х<0,9м

0,9≤х<1,9м

Будуємо епюру N (див. рис.2.15).

2.5. Розрахунок на міцність при розтязі – стисканні

Умова міцності : - при розтязі.

- при стисканні.

Із епюри поздовжніх сил вибираємо найбільше за модулем значення N_max, щоб його використати в умовах міцності.

Якщо матеріал такий, що для нього = , тоді можна використовувати лише одну умову міцності – на розтяг.

Для перевірного розрахунку на міцність перевіряють, чи виконуються умова міцності (чи виконується нерівність):

|N_MAX|. береться із епюри поздовжніх сил, F - найменша площа перерізу, де діє |N_MAX|.

Для проектувального розрахунку потрібно відшукати найменшу площу перерізу F таку, щоб виконувалася умова міцності у небезпечному перерізі (де діє |N_MAX| ).

Із умови міцності знаходимо найменшу потрібну площу:

За відшуканим значенням знаходимо потрібні значення розмірів перерізу.

2.6. Знаходження абсолютного видовження та переміщень окремих перерізів стрижня. Прості приклади

1. Абсолютне видовження стрижня довжиною l під дією сили Р.

(м). Видовження стрижня.

Е – модуль Юнга матеріалу стрижня (Па)

F – площа перерізу (м²)

2. Абсолютне видовження стрижня довжиною l під дією рівномірно розподіленого по усій довжині стрижня навантаження q.

(м) – скорочення стрижня.

Переріз А переміститься вліво на метрів.

3. Абсолютне видовження стрижня довжиною l під дією сили Р та під дією рівномірно розподіленого по усій довжині стрижня навантаження q.

Переріз А переміститься вліво (коли ), або вправо (коли ) на величину метрів.