План розв’язання

1. Накреслити окремі елементи перерізу. Біля кожного написати необхідні для розв'язання його геометричні характеристики з сортаменту.

2. Викреслити даний переріз у масштабі, проставивши усі необхідні розміри.

3. Провести допоміжні осі Z і Y і проставити координати Z_Ci, Y_Ci центрів кожного профілю відносно вибраних центральних осей.

4. Визначити положення центру складного перерізу, вказати на кресленні його координати Z_С і Y_С й провести центральні осі, паралельні до власних головних центральних осей кожного профілю. Проставити на кресленні відстані a_i та b_i між власними головними центральними осями кожного профілю та центральними осями усього складного перерізу.

5. За правилом переходу до паралельних осей, знайти осьові І_z та I_y і відцентровий I_zy моменти інерції перерізу відносно центральних осей складного перерізу.

6 Визначити напрям головних центральних осей. Накреслити їх.

7 Визначити моменти інерції відносно головних центральних осей. Зробити перевірку.

Розділ іі розтягання – стискання

2.1.Умови виникнення деформації. Поздовжня сила у перерізах

Розтягання або стискання стрижня спричинюється силами, що діють уздовж його осі. При цьому повинна виконуватись умова рівноваги цих сил.

На рисунку 2.1 незакріплений стрижень розтягується від двох однакових сил Р, що прикладаються уздовж осі стрижня у протилежних напрямках. Хоч стрижень і не закріплено, але умова рівноваги виконується. Як би сили були різними за значенням, тоді б стрижень почав переміщуватись у напрямі більшої за величиною сили і умови рівноваги не було б. Тому задачі, в яких умови рівноваги відсутні, спочатку приводять до умов, у яких тіло можна розглядати як в умовах дії на нього зрівноваженої системи сил.

Рисунок 2.1

На рисунку 2.2 стрижень закріплено, тому умова рівноваги сил, що діють у напрямі осі виконується (за рахунок реакції R_x, що дорівнює і протилежна Р_х).

Рисунок 2.2

У частинах обох стрижнів, що лежать між місцями прикладання до них сил, виникатимуть деформації розтягання.

Коли б кожна сила змінила напрямок дії на обернений, тоді виникали б деформації стискання.

Між відповідними частинками А, В, С та А¹, В¹, С¹, що належать різним сторонам одного перерізу (рисунок 2.3), виникають сили взаємодії, що перешкоджають взаємному зміщенню цих частинок.

Рисунок 2.3

Якщо скласти ці сили взаємодії по всім частинкам, що заповнюють сторони перерізу, та привести їх сумарну дію до осі стрижня, тоді можна говорити про деяку рівнодійну, що йде вздовж осі стрижня на одній стороні перерізу (рис. 2.4), яку називають поздовжньою силою у даному перерізі і позначають N.

Рисунок 2.4

2.2. Побудова епюри поздовжніх сил. Прості приклади

Приклад 1. Побудувати епюру поздовжніх сил (рисунок 2.5).

Розв'язання. Перевіримо, чи знаходиться стрижень під дією зовнішніх сил Р₁, Р₂, Р₃, у рівновазі. Для цього проведемо вісь х вздовж осі стрижня, початок якої візьмемо на лівому торці.

Рисунок 2.5

Умова рівноваги виконується.

На ділянці 0≤х<а зробимо подумки переріз на довільній відстані х від початку. Зліва від цього перерізу є лише сила Р₁, що розтягує ділянку між місцем її прикладення та даним перерізом х.

Тому

N(x)=+P=2кH.

На ділянці а≤х<а+в робимо переріз х в довільному місці. Тут

Будемо вважати, що існує іще й фіктивна (не справжня) ділянка стрижня а+вх (відмічена пунктиром). Тут

Справді, якщо стрижень закінчився, тоді немає і частинок між якими виникають сили взаємодії, це означає, що поздовжня сила N=0.

Приклад 2. Побудувати епюру поздовжніх сил (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6

Розв'язання. Проведемо вісь х стрижня з початком на лівому торці.

Умова рівноваги:

виконується.

Маємо три ділянки: 0≤х<1, 1≤х<3, 3≤х.

На ділянці 0≤х<1 робимо переріз на відстані х від початку. Зліва від нього є сила Р₁, що розтягує цю ділянку, тому

На ділянці 1≤х<2 робимо переріз на відстані х від початку. У цьому перерізі зліва є сила Р₁ та частина рівномірно – розподіленого осьового навантаження q. Частина тому, що q діє не на усій ділянці довжиною 2 метри, а на частині цієї ділянки. Довжина цієї частини дорівнює різниці двох відрізків: більшого, довжина якого х, та меншого, довжина якого 1 метр (рис. 2.7).

Рисунок 2.7

Отже, рівнодійна навантаження q, що діє на частині довжиною х-1 дорівнює:

Тоді поздовжня сила у розглянутому перерізі:

N(x)=P₁-q(x-1)

N(x) – функція від положення на осі х. Функція лінійна (аргумент х знаходиться у першому ступені). Графік цієї функції – пряма лінія, яку можна побудувати за двома значеннями:

- на початку ділянки стрижня.

- на кінці ділянки стрижня

На ділянці 3≤х

Будуємо графіки знайдених функцій N(x) по ділянках стрижня (див.рис. 2.6).

Приклад 3. Побудувати епюру поздовжніх сил (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8

Розв'язання. Умову рівноваги не перевіряємо тому, що стрижень закріплено. Реакція у закріплені автоматично зрівноважує будь – які зовнішні

навантаження. Ця реакція діє на стрижень так само, як і зовнішнє навантаження, розтягуючи або стискаючи його.

Рисунок 2.9

Умова рівноваги виконується.

Отже, якщо покласти початок осі х стрижня у місці закріплення, тоді треба враховувати реакцію R для побудови епюри N. А для цього потрібно цю реакцію R відшукати.

Цього можна не робити, якщо покласти початок осі х, що збігається із віссю стрижня на незакріпленому кінці стрижня.

Рисунок 2.10

Отже, умова рівноваги виконується автоматично (стрижень закріплено). Йдемо вздовж стрижня від вільного кінця до закріплення та визначаємо поздовжню силу як суму проекцій зовнішніх навантажень на вісь х, узятих праворуч від перерізів.

Ділянка 0≤х<3 м

Ділянка 3≤х<5 м

Будуємо епюру.

Рисунок 2.11

Висновок: Якщо стрижень має один жорстко закріплений кінець, тоді поклавши початок осі х на вільному кінці, можна реакцію у защемлені не шукати, а відразу знаходити значення поздовжньої сили у перерізах, беручи суму проекцій зовнішніх навантажень з того боку від перерізу, де вільний кінець стрижня.