Ключові слова

• статичний момент

• центр перерізу

• центральні осі

• головні центральні осі

• відцентровий момент інерції

• осьовий момент інерції

• полярний момент інерції

• головні центральні моменти інерції

1.6 Типова задача

ЗАДАЧА 1

Визначення головних центральних осей та моментів інерції відносно них для складного перерізу.

Для заданого перерізу (рис.1.11) визначити головні центральні осі та моменти інерції відносно них.

Дано: а=0.4b, Кутик 40х25х4, Швелер № 18

Рис. 1.11

Розв’язання. Необхідні дані випишемо із сортаменту прокатної сталі (ГОСТ 8240-72 та ГОСТ 8510-72).

Кутик B=40мм; b=25мм;d=4мм; x₀₁=6,3мм; y₀₁=13.7мм F₁=247мм²;

Швелер: h=180мм; b=170мм; d=5,1мм; t=8,7мм; F₂=2070мм²;

=1090^.10⁴мм⁴.

Рис. 1.12

1. Креслимо даний переріз у масштабі (рис. 1.12).

2. Позначимо центральні осі кутика як , а через - центральні осі швелера. Проводимо допоміжні координатні осі Х, У. Тоді в цій системі координат центри кутика та швелера будуть мати координати відповідно: мм, мм, мм, мм.

3. Визначаємо положення центра всієї фігури у системі координатних осей X,Y:

Через центр перерізу проводимо осі Х_С, У_С, паралельні осям Х, У.

4. знаходимо значення моментів інерції , , перерізу, користуючись формулами для моментів інерції відносно паралельних до центральних осей:

, , -осьові та відцентровий моменти інерції кутика відносно власних центральних осей

, , -осьові та відцентровий моменти інерції швелера відносно власних центральних осей

- координата центра кутика в системі центральних осей Х_С, У_С, по осі У_С.

- координата центра кутика в системі центральних осей Х_С, У_С, по осі Х_С.

- координата центра швелера в системі центральних осей Х_С, У_С, по осі У_С.

- координата центра швелера в системі центральних осей Х_С, У_С, по осі Х_С.

Тут =0 тому, що осі Х₂, У₂ – головні осі швелера (оскільки вісь У₂ – вісь симетрії).

Знаходимо відцентровий момент інерції кутика відносно його центральних осей:

Із сортаменту маємо, що для даного кутика

tgα=0,381, I_min=I_u=7100мм⁴

знаходимо, що α=20,85°;

тоді 2α=41,7°;

отже, sin2α=0,728

Із закону незмінності суми осьових моментів інерції відносно двох взаємо-перпендикулярних осей при повороті цих осей навколо точки їх перетину маємо, що

= ,

Тоді

Тепер знайдемо відцентровий момент інерції кутика відносно його центральних осей:

Відцентровий момент інерції усього перерізу знаходимо за формулою:

Перевіримо знак цього значення:

оскільки більша частина перерізу знаходиться у другій та четвертій чвертях центральної системи координат, тоді знак повинен бути від’ємний.

5. Визначаємо напрям головних осей перерізу:

для цього знайдемо кут повороту центральних осей, щоб вони перетворилися на головні центральні осі.

2α = arctg(– 0,7524) = –36,95°;

тоді α = –18,47°

Оскільки α < 0, тоді повертаємо вісь Х_С за стрілкою годинника і проводимо вісь u. Перпендикулярно до неї проводимо вісь v.

6. Знаходимо моменти інерції відносно головних осей u, v:

Тут перед коренем узято знак (-), оскільки якщо < , тоді й <

Робимо перевірку отриманих значень моментів інерції відносно головних центральних осей – головних моментів інерції:

Із закону незмінності суми осьових моментів інерції відносно двох взаємо-перпендикулярних осей при повороті цих осей навколо точки їх перетину на довільний кут повинно слідувати, що

+ = +

+ =471,37·10⁴ + 1203,65·10⁴ = 1675,02·10⁴ мм⁴

+ =544,94·10⁴ + 1130,08·10⁴ = 1675,02·10⁴ мм⁴

Отже вираз + = + справедливий.

Перевіряємо властивість екстремальності головних моментів інерції – вони повинні мати: один – мінімальне, другий - максимальне значення серед можливих значень моментів інерції відносно усіх положень центральних осей:

Ми відшукали та - моменти інерції відносно центральних осей одного положення, зручного для розрахунків. Тоді повинні виконуватися нерівності

=I_min< < < =I_max

Нерівності дійсно виконуються:

471,37·10⁴ < 544,94·10⁴ < 1130,08·10⁴ < 1203,65·10⁴