1.4 Моменти інерції відносно осей, паралельних центральним

Приклади для прямокутника та круга (рис. 1.7, рис. 1.8).

Якщо треба знайти осьові I_z, I_y або відцентровий I_zy моменти інерції відносно осей z та y, що паралельні до центральних осей Z₁ та Y₁ перерізу, тоді треба використовувати формули для моментів інерції відносно паралельних осей:

Рисунок 1.7

де - площа перерізу

Рисунок 1.8.

, де

а₁ та в₁ – відстань між осями z₁ та z і у₁ та у відповідно.

Якщо вісь z нижче осі z₁, тоді значення а₁>0, коли вища, тоді а₁<0.

Якщо вісь у лівіше осі у₁, тоді значення b₁>0, коли правіше, тоді b₁<0.

На значення осьових моментів інерції знаки а₁ та в₁ не впливають – вони у парному ступені. Значення відцентрових моментів можуть бути додатними, якщо відносно осей більша частина перерізу лежить у І або ІІІ чверті, або від’ємними, якщо більша частина перерізу лежить у ІІ та ІV чвертях. Так, на рис. 1.7 увесь переріз знаходиться у І чверті відносно осей z та у , тому . На рис. 1.8 круглий переріз лежить у ІV чверті відносно осей z та у, тому .

1.5 Визначення відцентрового моменту інерції для кутика нерівнобокого, рівнобокого.

Визначимо відцентровий момент відносно центральних осей для нерівнобокого кутика 4/2,5, t=4 мм (ГОСТ 8510-86), зображеного на рис. 1.9.

Рисунок 1.9	Рисунок 1.10

На рис. 1.10 зображений сортаментний малюнок кутика нерівнобокого. Осі х та у – центральні осі. Вісь u-u головна центральна, відносно якої I_u=I_min.

Відцентровий момент знаходимо за формулою

Для заданого номера кутика tgα=0,381, ;

Знаходимо, що α=arctg(0,381)=20,8°; тоді 2α=41,7°;

sin2α=0.728

за властивістю інваріантності суми осьових моментів інерції відносно повернутих осей маємо

.

Тоді

.

Отже,

.

Більша частина перерізу (див. рис. 1.10) лежить у ІІ та ІV чвертях, тому відцентровий момент інерції відносно центральних осей Х та У повинен бути від’ємним. Отже, остаточно:

.

На рисунку 1.9 більша частина кутика лежить у І та ІІІ чвертях, тому

.

Для рівнобокого кутика метод пошуку відцентрового моменту інерції відносно центральних осей нічим не відрізняється від вище приведеного.

Якщо у користуванні сортамент прокатної сталі по ГОСТ 8509-72, то для усіх кутиків відцентровий момент інерції відносно центральних осей потрібно шукати так, як приведено вище. Якщо ж дані беруться із сортаменту по ГОСТ 8509-86, то у ньому приводяться значення відцентрових моментів інерції відносно центральних осей Х та У у стовпчику , та мають розмірність см⁴.

Контрольні питання

1. Як знайти статичний момент довільної фігури відносно деякої осі?

2. У якому випадку статичний момент від'ємний?

3. Де приблизно знаходиться загальний центр двох фігур?

4. Як знайти положення центральних осей та скільки їх може бути?

5. Для яких фігур можна відразу знайти положення головних центральних осей та скільки їх може бути?

6. Які бувають моменти інерції?

7. Яка формула осьового моменту інерції круга відносно діаметра, відносно дотичної, відносно лінії, що проходить на відстані L від центра або від круга?

8. Яка формула осьового моменту інерції кільця відносно діаметра, відносно дотичної, відносно лінії, що проходить на відстані L від центра або від зовнішнього круга?

9. Яка формула полярного моменту інерції круга відносно центра?

10. Яка формула полярного моменту інерції кільця відносно центра?

11. Скільки осьових моментів інерції можна записати для прямокутника зі сторонами а та в? Запишіть їх.

12. Яка розмірність статичних моментів та моментів інерції?

13. Як перевірити значення знайдених головних центральних моментів інерції?

14. Як перевірити знак знайденого відцентрового моменту інерції?