5.6 Розрахунки деформацій при згинанні.

При плоскому згинанні перерізи балок мають переміщення, які залежать від складності навантаження, геометричних характеристик перерізу, матеріалу та положення перерізу на осі балки. Це такі переміщення: W(x) – прогин –

переміщення центру перерізу у напрямку поперечної осі Y (м); θ(х) – кут повороту перерізу відносно початкового положення (рис. 5.14).

Справедлива диференціальна залежність між W(x) та θ(x):

Рисунок 5.14.

Отже, спочатку знаходять функцію прогину W(x), потім цю функцію диференціюють і отримують функцію кутів повороту перерізів.

Функцію прогину W(x) будують за допомогою методу початкових параметрів.

Формально цей метод зводиться до послідовності дій:

Спочатку раціонально вибирають початок обходу балки, тобто місце, де х=0. Способи раціонального вибору розглянуто на прикладах далі.

Для цього початкового перерізу записують значення згинального моменту М₀ та поперечної сили Q₀, які визначають із відповідних епюр М та Q. Ці значення М₀ та Q₀ називаються статичними початковими параметрами.

Також для цього початкового перерізу назначають, а потім і знаходять значення чи вирази для початкових геометричних параметрів – W₀ прогину та θ₀ – кута повороту.

Після цього записують вираз для функції прогину W_(x) враховуючи по порядку проходження балки від вибраного початку до місця, де визначають прогин W(x), всі навантаження (зосереджені сили, пари та розподілені навантаження) (рис. 5.15).

Запишемо W_(x) для перерізу D:

(5.10)

У вираз W_(х) не увійшли навантаження, які лежать правіше перерізу С.

Навантаження Р₁ та М₁ входять у вираз W_(x) неявно через значення Q₀ та М₀, які узяті з епюр Q та М (див. фрагменти епюр).

Знаки біля доданків R_A, М₂, q вибирають так само, як при складанні виразу згинального моменту (див. пункт 5.2). Невідомі поки що значення W₀ та θ₀ знаходять із умов закріплення балки:

тобто, на опорі А (х=а) прогин відсутній та на опорі B (x=f) – теж саме.

Рисунок 5.15

Маємо, що M₀=М₁, Q₀=P₁, тоді

(5.11)

Щоб записати вираз треба спочатку скласти вираз функції W(х) для перерізу x=f:

Доданок - це «антинавантаження», яке треба прикласти з місця, де закінчується реальне навантаження q до перерізу, для якого складається вираз W_(x) (тут до перерізу x=f).

Тепер підставимо у функцію W(x) значення x=f:

(5.12)

Маємо систему двох рівнянь (5.11) та (5.12), з якої знаходимо значення W₀ та θ₀.

Тепер ставимо значення W₀ та θ₀ у вираз (5.10) функції W(x), записаної для перерізу D.

Щоб знайти шуканий прогин у перерізі D, треба підставити у функцію (5.10) значення x=d:

(5.13)

Щоб визначити кут повороту перерізу D потрібно спочатку записати функцію θ(x) для цього перерізу.

Для цього скористаємося диференціальною залежністю:

Диференціюємо вираз W(x) для перерізу D:

Тоді

(5.14)

Якщо ставити у вирази W(d) та θ(d) значення Е(Па) та І(м⁴);

М₁, М₂(Н·м); Р₁, R_A(H); q(Н/м), тоді отримаємо значення W(d) (м) та θ(d) (рад.)

5.6.1 Метод початкових параметрів для консолі.

Раціональний вибір початку обходу балки (х=0) суттєво спрощує пошук переміщень.

Для побудови епюр Q та М раціонально вибирати початок на вільному кінці консолі, щоб не мати справи із реакціями у защемлені (див. п. 5.3).

Після того, як епюри збудовані треба покласти початок осі х в защемлені і вісь х напрямити до вільного кінця. Тоді геометричні початкові параметри W₀=0 та θ₀=0, а статичні початкові параметри М₀ та Q₀ знаходимо із епюр М та Q.

Тепер можна відразу користуватися побудованими функціями W(х) та для визначення деформацій у потрібних перерізах, оскільки геометричні початкові параметри відомі.

5.6.2. Метод початкових параметрів для балки на двох опорах.

Можливі такі варіанти:

1. Жодна із опор не припадає на кінець балки (рис. 5.16).

В цьому випадку шукати геометричні початкові параметри W₀ та θ₀ прийдеться незалежно від вибору початку координат так, як показано раніше.

Рисунок 5.16

Тоді краще вибирати початок осі х там, де на кінці не прикладено зосередженої сили (тоді буде Q₀=0) або (та) пари (тоді M₀=0).

2. Одна із опор припадає на кінець балки (рис. 5.17).

У цьому разі краще брати початок осі х в місці, де кінець закріплено. Тоді W₀=0, а θ₀ шукаємо із умови закріплення на другій опорі (W_A=0).

Рисунок 5.17

3. Обидва кінці балки закріплено (рис. 5.18)

У цьому випадку краще брати початок осі х на опорі, де не прикладена пара (тоді М₀=0). Значення Q₀ беремо на епюрі Q там, де покладено х=0 (після побудови епюри). Геометричні початкові параметри W₀ та θ₀ шукаємо так, як показано раніше (п. 5.6)

Рисунок 5.18