5.4.2. Застосування узагальненої функції Хевісайда для складення виразів qy(X) та mz(X)

Функція Хевісайда має вираз:

Для приклада у розділі 5.4.1 складемо вирази для Q_Y(x) та .

Оскільки навантаження q закінчується раніше, ніж балка, то з перерізу х=4м до кінця балки (х=6м) уявно прикладаємо «антинавантаження», яке дорівнює q і протилежно напрямлене. Тому у виразі Q_Y(x) з’являється доданок – q(x-4)H(x-4), а у виразі M_Z(x) – доданок .

Робимо обчислення значень функції Q_y(x) та M_Z(x) у точках

х=0; х=1^-; х=1⁺; х=4^– х=4⁺; х=6;

Будуємо епюру Q_Y (див. рис. 5.10). Шукаємо значення х, що перетворює Q_Y на нуль на ділянці . Для цього запишемо вираз Q_Y(x) тільки для цієї ділянки (не ввійдуть навантаження, що діють лівіше цієї ділянки, тобто доданок ).

Обмислюємо значення для раніше вказаних точок та для точки х=2;

Будуємо епюру M_Z(x) (див. рис. 5.11).

5.5. Розрахунки на міцність при плоскому згинанні

При плоскому згинанні, коли виникають згинальні моменти та поперечні сили у балках, матеріал перебуває у плоскому напруженому стані. Умова міцності повинна бути записана для небезпечної точки (точок) балки, тобто для точок, де матеріал перебуває у найбільш напруженому стані.

Небезпечно буде одна з трьох точок:

1. Точка, де нормальне напруження досягає найбільшого значення.

2. Точка, де дотичне напруження досягає найбільшого значення.

3. Точка, де σ та τ, хоч і не набувають найбільших значень, але разом створюють найневигіднішу комбінацію, тобто найбільше еквівалентне напруження за вибраною теорією міцності.

Умови міцності:

1. Для σ_max (5.1)

Ці небезпечні точки лежать в крайніх (поверхневих) волокнах того перерізу, де згинальний момент М має максимальне за абсолютною величиною значення.

2. для τ_max (5.2)

- ці небезпечні точки лежать на нейтральній лінії того перерізу, де поперечна сила за абсолютним значенням найбільша.

3. сукупна дія σ та τ

- положення цієї точки (точок) не зовсім певне, але в ній завжди плоский напружений стан, при якому по гранях виділеного елемента діють нормальні та дотичні напруження.

Маємо вирази головних напружень:

Тоді умови міцності за теоріями міцності І, ІІ, ІІІ та ІV:

; (5.3)

; (5.4) ; (5.5)

; (5.6)

Для розрахунку балок з пластичних матеріалів потрібно користуватися умовами міцності (5.5) або (5.6).

5.5.1. Перевірний розрахунок (перевірка перерізу на міцність).

Здебільшого небезпечною є крайня точка того перерізу, де . Тому на практиці перевірний розрахунок балок на міцність полягає в тому, що:

1) Знаходимо небезпечний переріз балки, тобто той, у якому діє найбільший за абсолютним значенням згинальний момент. Для цього будуємо епюру згинального моменту.

2) За таблицею сортаменту прокатної сталі або розрахунками визначаємо момент опору W перерізу відносно нейтральної лінії.

3) Застосовуємо лише одну умову міцності (5.1), яку називають основною. Тобто треба перевірити, чи виконується нерівність

Якщо виконується, тоді міцність балки є, якщо не виконується – немає.