5.3 Побудова епюр поперечних сил та згинальних моментів у балках.

Прості приклади

Перед побудовою епюр потрібно пересвідчитися у рівновазі балки, якщо вона не закріплена, та визначити ті реакції опор, які будуть зустрічатися при обході балки від початку до кінця, коли вона закріплена.

Якщо балка – консоль, тоді поклавши початок осі Х на вільному кінці і йдучи до закріплення, ми не зустрінемо реакцій жорсткого затиснення аж поки не дійдемо до кінця. Тому ці реакції не увійдуть у вирази Q та М і їх можна не визначити.

5.3.1 Зосереджена сила на консолі (рисунок 5.5).

Беремо початок осі Х на вільному. Складемо вирази Q_Y по ділянкам I та II:

Рисунок 5.5

І: ; для будь якого переріза праворуч ;

ІІ ; для будь якого переріза праворуч ;

Будуємо епюру Q_Y.

Складемо вираз M_Z по ділянкам:

І: ; для перерізів праворуч ;

ІІ: ; для переріза праворуч ;

Це – лінійна відносно х функція.

Її графік – пряма лінія, яку можна збудувати за двома точками

та

Будуємо епюру М_Z .

5.3.2 Рівномірно розподілене по довжині консолі навантаження інтенсивності q (рисунок 5.6).

Покладемо початок осі х на вільному кінці консолі.

Маємо одну ділянку . Складемо вираз Q_Y(x) для будь-якого перерізу х праворуч:

Маємо рівнодійну частини навантаження q від початку до перерізу х, яка дорівнює q·х, тоді

;

Обчислимо значення Q_Y(х) у точках х=0 та х=l ;

Рисунок 5.6

Будуємо епюру Q_Y.

Складаємо вираз M_Z(x) для будь-якого перерізу х праворуч:

Маємо рівнодійну q·x, що діє на відстані х/2 від даного перерізу х.

Момент від q·x в даному перерізі знайдеться як

Це квадратична функція від х. Її графік – парабола.

Знайдемо значення у точках

х=0; х=l/2; х=l;

Будуємо епюру M_Z (див. рис. 5.6).

5.3.3 Пара сил на консолі (рисунок 5.7).

Рисунок 5.7

Маємо ділянки І та ІІ;

І: ; ;

ІІ: ; ;

Будуємо епюри Q_Y та M_Z (див. рис. 5.7).

5.3.4 Зосереджена сила р, прикладена до двохопорної балки. (рис. 5.8).

Рисунок 5.8

Знаходимо реакції R_A та R_B:

;

Маємо ділянки І та ІІ;

Для довільного перерізу х ліворуч:

І: ;

ІІ: ;

Будуємо епюри Q_Y та M_Z (див. рис. 5.8).

5.3.5 Рівномірно розподілене навантаження q ( ) по довжині двохопорної балки (рис. 5.9).

Рисунок 5.9

Реакції у опорах А та В в силу симетрії будуть однаковими.

Маємо одну ділянку ;

Для довільного перерізу х ліворуч:

Дивись задачу 5.3.2.

Будуємо епюри Q_Y та M_Z (див. рис. 5.9).

5.3.6 Пара сил на двохопорній балці (рис. 5.10).

Рисунок 5.10

Знаходимо реакції R_A та R_В:

Отже, незалежно від місця прикладення пари до балки (хоч і на опорах), реакції R_A та R_B однакові і протилежні за напрямком.

Маємо ділянки І та ІІ.

Для довільного перерізу х ліворуч:

Будуємо епюри Q_Y та M_Z. У місці прикладення пари M спостерігається скачок від величини та

Величина цього скачка

5.4. Побудова епюр Q та М. Складні приклади

5.4.1 Зосереджена сила, пара та рівномірно розподілене навантаження на консолі (рис. 5.11).

Покладемо початок осі х на вільному кінці. Маємо ділянки І, ІІ, ІІІ.

Для довільного перерізу х на ділянках праворуч:

(Рівнодійна 3·q діє у перерізі х=2,5 м);

Рисунок 5.11

Будуємо епюру Q_Y. На ділянці епюра Q_Y плавно проходить через значення Q_Y=0. Це означає, що на майбутній епюрі M_Z у цьому місці буде екстремальне на цій ділянці значення (тобто min чи max). Тому шукаємо цей переріз, де Q_Y=0 на цій ділянці, щоб потім підставити його координату x у вираз M_Z(X) на цій ділянці і знайти це екстремальне значення згинального моменту.

Отже, ;

Тепер знайдемо M_Z (2) із виразу

кН·м

Будуємо епюру M_Z (див. рис. 5.11).